Determine k para que o sistema seja possível determinado
\left\{\begin{array}{c} -4 x+3 y=2 \\\\ 5 x-4 y=0 \\\\ 2 x-y=k \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em duas incógnitas (x,y)\) com parâmetro \(k\): \[\begin{cases} -4x+3y=2,\\\\ 5x-4y=0,\\\\ 2x-y=k. \end{cases}
Queremos que o sistema tenha exatamente uma solução (seja possível determinado). Para isso, basta resolver as duas primeiras equações (que formam um sistema 2\times 2\] independente) e depois exigir que essa solução satisfaça a terceira equação, determinando \(k.

Passo 2

Resolvendo o subsistema
\begin{cases} -4x+3y=2,\\\\ 5x-4y=0, \end{cases}
podemos usar substituição: da segunda equação,
5x=4y\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{4}{5}y.
Substituindo na primeira,
-4\Bigl(\frac{4}{5}y\Bigr)+3y=2 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{16}{5}y+3y=2.

Passo 3

Continuando a resolução,
-\frac{16}{5}y+\frac{15}{5}y=-\frac{1}{5}y=2 \quad\Longrightarrow\quad y=-10.
Logo
x=\frac{4}{5}\,(-10)=-8.
A solução das duas primeiras é (x,y)=(-8,-10).

Passo 4

Para que o sistema completo seja consistente e tenha essa única solução, a terceira equação deve ser satisfeita por (x,y)=(-8,-10). Substituindo em 2x-y=k,
2(-8)-(-10)=k \quad\Longrightarrow\quad -16+10=k \quad\Longrightarrow\quad k=-6.

Resposta

k=-6

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