Determine k tal que:
\lim _{x \rightarrow k}\left(x^{2}-5 x+6\right)=0

Passo 1

O enunciado pede: determine k tal que
\lim_{x\to k}\left(x^{2}-5x+6\right)=0.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é o polinômio x^{2}-5x+6.
  • O limite quando x tende a k deve valer 0.
  • A incógnita é k.
    Não começo a resolver aqui, só organizei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Observação-chave (conceito didático): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Continuar significa que, para uma função f, se f é contínua em a então
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aqui a função é f(x)=x^{2}-5x+6, que é um polinômio, logo contínua em todo lugar. Portanto posso substituir diretamente x=k dentro da função para avaliar o limite:
\lim_{x\to k}\left(x^{2}-5x+6\right)=k^{2}-5k+6.
Essa é a razão que nos permite transformar o problema de limite em uma equação algébrica.

Passo 3

Usando o passo anterior, o enunciado vira a equação
k^{2}-5k+6=0.
Agora o problema é encontrar k que satisfaça essa equação quadrática.

Passo 4

Para resolver a quadrática, tento fatorar. Procuro dois números cujo produto seja 6 (termo constante) e cuja soma seja -5 (coeficiente de k). Esses números são -2 e -3 porque:
(-2)\cdot(-3)=6,\qquad (-2)+(-3)=-5.
Assim fatoramos:
k^{2}-5k+6=(k-2)(k-3).

Passo 5

Quando um produto é zero, pelo princípio da fatoração, pelo menos um dos fatores é zero. Então temos as equações:
k-2=0\quad\text{ou}\quad k-3=0.
Resolvendo cada uma:
k=2\quad\text{ou}\quad k=3.

Passo 6

Verificação (sempre bom conferir em prova):
Calculo o polinômio em k=2:
2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0.
E em k=3:
3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0.
Ambos dão 0, como exigido. Então as soluções estão corretas.

Passo 7

Resumo final e dica rápida para prova: como polinômios são contínuos, transforme o limite em avaliar o polinômio em k, torne isso uma equação =0 e resolva a quadrática (fatorando, completando quadrado ou fórmula de Bhaskara). Aqui a fatoração foi rápida e suficiente.

Resposta

2
3

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