Determine
tal que:
Passo 1
O enunciado pede: determine
tal que
Informações dadas:
- A expressão dentro do limite é o polinômio
. - O limite quando
tende a deve valer . - A incógnita é
.
Não começo a resolver aqui, só organizei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Observação-chave (conceito didático): polinômios são funções contínuas em todo
. Continuar significa que, para uma função
, se
é contínua em
então
Aqui a função é
, que é um polinômio, logo contínua em todo lugar. Portanto posso substituir diretamente
dentro da função para avaliar o limite:
Essa é a razão que nos permite transformar o problema de limite em uma equação algébrica.
Passo 3
Usando o passo anterior, o enunciado vira a equação
Agora o problema é encontrar
que satisfaça essa equação quadrática.
Passo 4
Para resolver a quadrática, tento fatorar. Procuro dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
porque:
Assim fatoramos:
Passo 5
Quando um produto é zero, pelo princípio da fatoração, pelo menos um dos fatores é zero. Então temos as equações:
Resolvendo cada uma:
Passo 6
Verificação (sempre bom conferir em prova):
Calculo o polinômio em :
Calculo o polinômio em
E em
:
Ambos dão
, como exigido. Então as soluções estão corretas.
Passo 7
Resumo final e dica rápida para prova: como polinômios são contínuos, transforme o limite em avaliar o polinômio em
, torne isso uma equação
e resolva a quadrática (fatorando, completando quadrado ou fórmula de Bhaskara). Aqui a fatoração foi rápida e suficiente.