Dois números se dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro. Mostre que números de Nicolo Paganini, 1184 e 1210, são amigáveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os dois números
e
são amigáveis. Ou seja, precisamos verificar duas coisas:
- que a soma dos divisores próprios de
é ; - que a soma dos divisores próprios de
é .
Informações dadas: os números a testar sãoe . Não há mais dados escondidos — nossa tarefa é calcular as somas dos divisores próprios e comparar.
Passo 2
Explico a ferramenta que vou usar (passo a passo e didático): a soma dos divisores de um número inteiro
é dada pela função
. Se conhecemos a fatoração prima de
,
onde cada
é um primo e
seu expoente, então a soma de todos os divisores (incluindo
e
) é multiplicativa e pode ser calculada por
Explicação do que aparece aí:
é a potência máxima do primo
que divide
; a expressão
soma todas as potências de
desde
até
— isso gera os fatores necessários para construir todos os divisores. A soma dos divisores próprios de
é então
porque
soma também o próprio
, e “próprios” significa que excluímos
da soma.
Vou aplicar isso: fatorar
e
, calcular
para cada um, subtrair o número e comparar.
Passo 3
Fatoração de
. Faço divisões por
repetidas vezes porque
é par:
Cheguei em
, que é primo. Conto quantas divisões por
fiz: foram
. Então
Isso é a fatoração prima completa de
.
Passo 4
Calcular
usando a fatoração
.
Primeiro os fatores individuais:
Como a função é multiplicativa para fatores coprimos,
Faço a multiplicação passo a passo:
e
, somando dá
. Então
A soma dos divisores próprios de
é
Comentário prático: podia também listar os divisores próprios a partir da fatoração — são
(as potências de
até
sem multiplicar por
) e
(cada um desses multiplicando as potências de
por
); a soma desses
números dá
, conforme calculado.
Passo 5
Fatoração de
. Começo dividindo por
porque é par:
Agora fatoro
. Vejo que
porque
e sobra
; e
. Assim
portanto
Essa é a fatoração prima completa de
.
Passo 6
Calcular
usando a fatoração
.
Calculo os
dos fatores primos/puissances:
Como são fatores distintos (coprimos entre si), multiplico:
Faço a conta:
, então
. Calculo
e
; somando
. Portanto
A soma dos divisores próprios de
é
Como observação prática: os divisores próprios de
(excluindo
) são
e a soma desses números é
.
Passo 7
Conclusão lógica: mostramos que a soma dos divisores próprios de
é
e a soma dos divisores próprios de
é
. Isso significa exatamente que
e
são um par de números amigáveis (amicable pair). Você já venceu a parte difícil: fatorar e aplicar a fórmula de soma de divisores; prática com outros pares fica mais tranquila depois disso — e se bater nervoso na prova, lembra: fatorar e usar
é a via rápida.