Dois números se dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro. Mostre que números de Nicolo Paganini, 1184 e 1210, são amigáveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os dois números 1184 e 1210 são amigáveis. Ou seja, precisamos verificar duas coisas:
  1. que a soma dos divisores próprios de 1184 é 1210;
  2. que a soma dos divisores próprios de 1210 é 1184.
    Informações dadas: os números a testar são 1184 e 1210. Não há mais dados escondidos — nossa tarefa é calcular as somas dos divisores próprios e comparar.

Passo 2

Explico a ferramenta que vou usar (passo a passo e didático): a soma dos divisores de um número inteiro n é dada pela função \sigma(n). Se conhecemos a fatoração prima de n,
n=\prod_{i} p_i^{a_i},
onde cada p_i é um primo e a_i seu expoente, então a soma de todos os divisores (incluindo 1 e n) é multiplicativa e pode ser calculada por
\sigma(n)=\prod_{i}\left(1+p_i+p_i^2+\cdots+p_i^{a_i}\right)=\prod_{i}\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}.
Explicação do que aparece aí: p_i^{a_i} é a potência máxima do primo p_i que divide n; a expressão 1+p_i+\cdots+p_i^{a_i} soma todas as potências de p_i desde p_i^0=1 até p_i^{a_i} — isso gera os fatores necessários para construir todos os divisores. A soma dos divisores próprios de n é então
\text{soma\_própria}(n)=\sigma(n)-n,ó
porque \sigma(n) soma também o próprio n, e “próprios” significa que excluímos n da soma.
Vou aplicar isso: fatorar 1184 e 1210, calcular \sigma para cada um, subtrair o número e comparar.

Passo 3

Fatoração de 1184. Faço divisões por 2 repetidas vezes porque 1184 é par:
1184\div2=592,\quad 592\div2=296,\quad 296\div2=148,\quad 148\div2=74,\quad 74\div2=37.
Cheguei em 37, que é primo. Conto quantas divisões por 2 fiz: foram 5. Então
1184=2^{5}\cdot 37.
Isso é a fatoração prima completa de 1184.

Passo 4

Calcular \sigma(1184) usando a fatoração \,1184=2^{5}\cdot 37.
Primeiro os fatores individuais:
\sigma(2^{5})=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=\frac{2^{6}-1}{2-1}=2^{6}-1=64-1=63.
\sigma(37)=1+37=\frac{37^{2}-1}{37-1}=38.
Como a função é multiplicativa para fatores coprimos,
\sigma(1184)=\sigma(2^{5})\cdot\sigma(37)=63\cdot 38.
Faço a multiplicação passo a passo: 60\cdot 38=2280 e 3\cdot 38=114, somando dá 2280+114=2394. Então
\sigma(1184)=2394.
A soma dos divisores próprios de 1184 é
\text{soma\_própria}(1184)=\sigma(1184)-1184=2394-1184=1210.ó
Comentário prático: podia também listar os divisores próprios a partir da fatoração — são 1,2,4,8,16,32 (as potências de 2 até 2^{5} sem multiplicar por 37) e 37,74,148,296,592 (cada um desses multiplicando as potências de 2 por 37); a soma desses 11 números dá 1210, conforme calculado.

Passo 5

Fatoração de 1210. Começo dividindo por 2 porque é par:
1210\div2=605.
Agora fatoro 605. Vejo que 605=5\cdot 121 porque 5\cdot 120=600 e sobra 5; e 121=11^{2}. Assim
605=5\cdot 11^{2},
portanto
1210=2\cdot 5\cdot 11^{2}.
Essa é a fatoração prima completa de 1210.

Passo 6

Calcular \sigma(1210) usando a fatoração \,1210=2\cdot 5\cdot 11^{2}.
Calculo os \sigma dos fatores primos/puissances:
\sigma(2)=1+2=3,
\sigma(5)=1+5=6,
\sigma(11^{2})=1+11+11^{2}=1+11+121=133.
Como são fatores distintos (coprimos entre si), multiplico:
\sigma(1210)=\sigma(2)\cdot\sigma(5)\cdot\sigma(11^{2})=3\cdot 6\cdot 133.
Faço a conta: 3\cdot 6=18, então 18\cdot 133. Calculo 18\cdot 100=1800 e 18\cdot 33=594; somando 1800+594=2394. Portanto
\sigma(1210)=2394.
A soma dos divisores próprios de 1210 é
\text{soma\_própria}(1210)=\sigma(1210)-1210=2394-1210=1184.ó
Como observação prática: os divisores próprios de 1210 (excluindo 1210) são 1,2,5,10,11,22,55,110,121,242,605 e a soma desses números é 1184.

Passo 7

Conclusão lógica: mostramos que a soma dos divisores próprios de 1184 é 1210 e a soma dos divisores próprios de 1210 é 1184. Isso significa exatamente que 1184 e 1210 são um par de números amigáveis (amicable pair). Você já venceu a parte difícil: fatorar e aplicar a fórmula de soma de divisores; prática com outros pares fica mais tranquila depois disso — e se bater nervoso na prova, lembra: fatorar e usar \sigma é a via rápida.

Resposta

1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210.
1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605=1184.

Exercícios relacionados