Determine k tal que:
\lim _{x \rightarrow 5}\left(3 k x^{2}-5 k x+3 k-1\right)=\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar k tal que
\lim_{x\to 5}\left(3kx^{2}-5kx+3k-1\right)=\frac{3}{2}.
Informações dadas:
\;x tende para 5.
\;k é uma constante que devemos encontrar.
A expressão dentro do limite é 3kx^{2}-5kx+3k-1.
O valor desejado do limite é \frac{3}{2}.

Passo 2

Primeiro ponto teórico simples e útil para prova: polinômios e combinações finitas de polinômios (soma, produto, constante vezes polinômio) são funções contínuas em todo ponto. Isso significa que, para uma expressão polinomial p(x),
\lim_{x\to a} p(x) = p(a).
Aqui a expressão em x é polinomial em x (dependendo do parâmetro k como coeficiente), portanto podemos obter o limite substituindo x=5 diretamente na expressão. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Substituindo x=5 na expressão temos
3k\cdot 5^{2}-5k\cdot 5+3k-1.
Calcule 5^{2}:
5^{2}=25.
Agora multiplica termo a termo:
3k\cdot 25 = 75k,\qquad -5k\cdot 5 = -25k.
Somando os coeficientes em k e o termo constante:
75k -25k +3k -1 = (75-25+3)k -1 = 53k -1.
Portanto
\lim_{x\to 5}\left(3kx^{2}-5kx+3k-1\right)=53k-1.

Passo 4

Agora usamos a condição do enunciado: o limite deve ser \frac{3}{2}. Então igualamos:
53k-1 = \frac{3}{2}.
Isolamos k. Primeiro somamos 1 em ambos os lados:
53k = \frac{3}{2} + 1.
Escrevendo 1 como \frac{2}{2} e somando:
\frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2}.
Logo
53k = \frac{5}{2}.
Dividindo ambos os lados por 53:
k = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{53} = \frac{5}{106}.

Passo 5

Fazendo uma checagem rápida: substituindo k=\frac{5}{106} em 53k-1
53\cdot\frac{5}{106}-1 = \frac{53\cdot 5}{106}-1 = \frac{265}{106}-1 = \frac{265-106}{106} = \frac{159}{106}.
Como 159=3\cdot 53 e 106=2\cdot 53, isso simplifica para \frac{3}{2}, que é exatamente o valor pedido. Beleza — bate certinho!

Resposta

\frac{5}{106}

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