Determine
tal que:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
tal que
Informações dadas:
tende para
.
é uma constante que devemos encontrar.
A expressão dentro do limite é .
O valor desejado do limite é .
A expressão dentro do limite é
O valor desejado do limite é
Passo 2
Primeiro ponto teórico simples e útil para prova: polinômios e combinações finitas de polinômios (soma, produto, constante vezes polinômio) são funções contínuas em todo ponto. Isso significa que, para uma expressão polinomial
,
Aqui a expressão em
é polinomial em
(dependendo do parâmetro
como coeficiente), portanto podemos obter o limite substituindo
diretamente na expressão. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Substituindo
na expressão temos
Calcule
:
Agora multiplica termo a termo:
Somando os coeficientes em
e o termo constante:
Portanto
Passo 4
Agora usamos a condição do enunciado: o limite deve ser
. Então igualamos:
Isolamos
. Primeiro somamos
em ambos os lados:
Escrevendo
como
e somando:
Logo
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Fazendo uma checagem rápida: substituindo
em
dá
Como
e
, isso simplifica para
, que é exatamente o valor pedido. Beleza — bate certinho!