1^a Questão: (20 pontos) Encontre o domínio da seguinte função
f(x)=raizx+2-1
Verifique que f é injetora e encontre a sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função f(x) = raizx+2 - 1 . Além disso, precisamos verificar se essa função é injetora e, se for, encontrar a sua inversa. Claro, vamos usar conhecimentos de funções, domínios, injeção e inversas para resolver isso juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida.
Aqui, temos uma raiz quadrada: raizx + 2 . Para que a raiz quadrada seja um número real, o que está dentro dela (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Então:
x + 2 >= 0
Resolvendo essa inequação:
x >= -2
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a -2.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função f(x) = raizx+2 - 1 é injetora. Uma função é injetora se cada valor de saída está associado a um único valor de entrada.
Para testar isso, vamos supor que f(a) = f(b) :
raiza + 2 - 1 = raizb + 2 - 1
Adicionando 1 em ambos os lados:
raiza + 2 = raizb + 2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
a + 2 = b + 2
Subtraindo 2:
a = b
Como a única solução é a = b , isso significa que cada saída corresponde a um único x . Portanto, a função é injetora.

Passo 4

Como a função é injetora, podemos encontrar a inversa dela. Para achar a inversa, vamos seguir esses passos:
  1. Substituir f(x) por y :
y = raizx + 2 - 1
  1. Trocar x por y e vice-versa:
x = raizy + 2 - 1
  1. Isolar y :
Primeiro, adicionamos 1 dos dois lados:
x + 1 = raizy + 2
Agora, elevamos ao quadrado:
(x + 1)^2 = y + 2
Finalmente, subtraímos 2:
y = (x + 1)^2 - 2
Então, a inversa é:
f^-1(x) = (x + 1)^2 - 2

Resposta

O domínio da função é x >= -2 . A função f(x) = raizx+2 - 1 é injetora e a sua inversa é f^-1(x) = (x + 1)^2 - 2 .

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