Questão: (20 pontos) Encontre o domínio da seguinte função
Verifique que
é injetora e encontre a sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função
. Além disso, precisamos verificar se essa função é injetora e, se for, encontrar a sua inversa. Claro, vamos usar conhecimentos de funções, domínios, injeção e inversas para resolver isso juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Aqui, temos uma raiz quadrada:
. Para que a raiz quadrada seja um número real, o que está dentro dela (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Então:
Resolvendo essa inequação:
Então, o domínio da função é todos os números reais maiores ou iguais a -2.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é injetora. Uma função é injetora se cada valor de saída está associado a um único valor de entrada.
Para testar isso, vamos supor que
:
Adicionando 1 em ambos os lados:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo 2:
Como a única solução é
, isso significa que cada saída corresponde a um único
. Portanto, a função é injetora.
Passo 4
Como a função é injetora, podemos encontrar a inversa dela. Para achar a inversa, vamos seguir esses passos:
- Substituir
por :
- Trocar
por e vice-versa:
- Isolar
:
Primeiro, adicionamos 1 dos dois lados:
Agora, elevamos ao quadrado:
Finalmente, subtraímos 2:
Então, a inversa é:
Resposta
O domínio da função é
. A função
é injetora e a sua inversa é
.