Determine L para que a função dada seja contínua em R.
ccraizx^8+x^4x^2, & se x neq 0 L, & se x=0

Passo 1

A função é dada por f(x)=\frac{\sqrt{x8+x4}}{x^2} para x\neq0 e f(0)=L, e queremos escolher L de modo que f seja contínua em todo R. O conteúdo aqui é continuidade de funções em um ponto e cálculo de limite.

Passo 2

Para simplificar f(x) quando x\neq0, note que podemos fatorar dentro da raiz:
raizx^8+x^4=raizx^4(x^4+1)=raizx^4,raizx^4+1=|x^2|,raizx^4+1=x^2,raizx^4+1
Como x^2>0, temos
$$
f(x)=\frac{x2\sqrt{x4+1}}{x2}=\sqrt{x4+1}.
$$

Passo 3

Agora basta calcular o limite quando x→0:
limxto0f(x)=limxto0raizx^4+1=raiz0+1=1
Pela definição de continuidade em x=0, devemos ter L igual a esse limite para que não haja descontinuidade. Portanto L=1.

Resposta

L = 1

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