Resolver a equação diferencial seguinte em
:
[
\left(1+(\ln x)^{2}\right) y^{\prime}-\frac{1}{x} y+\frac{1}{x} y^{2}=0 .
\left(1+(\ln x)^{2}\right) y^{\prime}-\frac{1}{x} y+\frac{1}{x} y^{2}=0 .
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação diferencial
O conteúdo principal envolvido é a técnica de equações diferenciais separáveis.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma explícita para
: dividindo tudo por
, temos
Passo 3
Agora separamos as variáveis. Colocamos todos os termos em
de um lado e em
do outro:
Passo 4
Integramos ambos os lados. No lado de
usamos frações parciais:
No lado de
fazemos
, então
e
Assim,
Passo 5
Elevando exponencialmente e isolando
, obtemos
e daí
ou, renomeando a constante, equivalentemente
Resposta
A solução geral em
é
onde
é constante arbitrária.