Resolver a equação diferencial seguinte em ] 0,+infty[ :
[
\left(1+(\ln x)^{2}\right) y^{\prime}-\frac{1}{x} y+\frac{1}{x} y^{2}=0 .

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ]0,+infty[ a equação diferencial
l(1+(ln x)^2r)y'-1xy+1xy^2=0
O conteúdo principal envolvido é a técnica de equações diferenciais separáveis.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma explícita para y': dividindo tudo por 1+(ln x)^2, temos
y' = y- y^2xl(1+(ln x)^2r)

Passo 3

Agora separamos as variáveis. Colocamos todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dyy(1-y) = dxxl(1+(ln x)^2r)

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado de y usamos frações parciais:
integraldyy(1-y) = integrall(1y+11-yr)dy = ln|y| - ln|1-y|
No lado de x fazemos t=ln x, então dt=dx/x e
integraldxxl(1+(ln x)^2r) = integraldt1+t^2 = arctan t = arctan(ln x)
Assim,
lny1-y = arctan(ln x) + C

Passo 5

Elevando exponencialmente e isolando y, obtemos
y1-y = C1,e^arctan(ln x)
e daí
y(x) = C1,e^arctan(ln x)1 + C1,e^arctan(ln x)
ou, renomeando a constante, equivalentemente
y(x) = 11 + C,e^-arctan(ln x)

Resposta

A solução geral em ]0,+infty[ é
y(x) = 11 + C,e^-arctan(ln x),
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados