Determine L para que a função seja contínua no ponto dado.
clraiz[3]x+1-1x, & se x neq 0 L, & se x=0 no ponto x=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de L que torne a função f(x)=(raiz[3]x+1-1)/x,&xneq0L,&x=0 contínua em x=0. Vamos usar conceitos de limite e continuidade de funções.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=0, precisamos ter limxto0f(x)=f(0)=L. Então o próximo passo é calcular limxto0raiz[3]x+1-1x.

Passo 3

Para calcular o limite usamos a identidade de diferença de cubos: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). Tomando a=raiz[3]x+1 e b=1, multiplicamos numerador e denominador por a^2+ab+b^2:

Passo 4

Agora basta tomar xto0. Como raiz[3]x+1to1, o denominador tende a 1^2+1+1=3. Logo
$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\frac{1}{3}.
$$

Passo 5

Concluímos que para a continuidade em x=0 deve valer L=1/3.

Resposta

L = 1/3

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