O enunciado pede para verificar se os limites de oito funções de duas variáveis ao ponto (0,0) existem. Vamos usar ferramentas como mudança para coordenadas polares, análise de caminho e o teorema do confronto (squeeze) para cada caso.
Passo 2
Para as funções e , usamos a técnica de caminho. Seja com constante:
que depende de , logo não existe. Para temos
que também varia conforme e mesmo o sinal de , logo não existe.
Passo 3
Para , mudamos para coordenadas polares , . Então
e ao fazermos obtemos 0 de modo independente de . Portanto .
Passo 4
Em usamos o teorema do confronto. Como , temos
que vai a 0 quando . Logo .
Passo 5
As funções e também se anulam por confronto em coordenadas polares:
f8=r^2cos^2thetar=rcos^2thetaxrightarrowrto00
Logo lim f6=0 e lim f8=0.
Passo 6
Para f4(x,y)=xy(x-y)x^4+y^4 usamos caminho do tipo y=mx. Isso dá
que explode em módulo quando xto0 (a menos de casos degenerados m=0,1). Assim lim f4 não existe (é não limitado).
Passo 7
Em f7(x,y)=xyy-x^3 note que no caminho y=x^3 o denominador zera enquanto o numerador xcdot x^3=x^4 fica diferente de zero para xneq0, gerando divergência. Portanto lim f7 não existe.
Resposta
lim f1 não existe, lim f2=0, lim f3=0, lim f4 não existe, lim f5 não existe, lim f6=0, lim f7 não existe, lim f8=0.