Exercício 1 Verifique se existem os limites
& lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+y^2, lim (x, y) (0,0) x^3x^2+y^2, lim (x, y) (0,0) x sen(1x^2+y^2), & lim (x, y) (0,0) x y(x-y)x^4+y^4 & lim (x, y) (0,0) xraizx^2+y^2, lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2, & lim (x, y) (0,0) x yy-x^3, lim (x, y) (0,0) x^2raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os limites de oito funções de duas variáveis ao ponto (0,0) existem. Vamos usar ferramentas como mudança para coordenadas polares, análise de caminho e o teorema do confronto (squeeze) para cada caso.

Passo 2

Para as funções
f1(x,y)=x^2-y^2x^2+y^2 e f5(x,y)=xraizx^2+y^2, usamos a técnica de caminho. Seja y=kx com k constante:
f1(x,kx)=x^2-k^2x^2x^2+k^2x^2=1-k^21+k^2,
que depende de k, logo lim f1 não existe. Para f5 temos
f5(x,kx)=x|x|raiz1+k^2=sgn(x)raiz1+k^2,
que também varia conforme k e mesmo o sinal de x, logo lim f5 não existe.

Passo 3

Para f2(x,y)=x^3x^2+y^2, mudamos para coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta. Então
f2=rr^2cos^3thetar^2=rcos^3theta,
e ao fazermos rto0 obtemos 0 de modo independente de theta. Portanto lim f2=0.

Passo 4

Em f3(x,y)=xsinl(1/(x^2+y^2)r) usamos o teorema do confronto. Como |sin(cdot)|<=1, temos
|f3|=|x||sin(1/(x^2+y^2))|<=|x|<=raizx^2+y^2,
que vai a 0 quando (x,y)to(0,0). Logo lim f3=0.

Passo 5

As funções f6(x,y)=xyraizx^2+y^2 e f8(x,y)=x^2raizx^2+y^2 também se anulam por confronto em coordenadas polares:
|f6|=|x||y|r<=r^2/2r= r2xrightarrowrto00,
f8=r^2cos^2thetar=rcos^2thetaxrightarrowrto00
Logo lim f6=0 e lim f8=0.

Passo 6

Para f4(x,y)=xy(x-y)x^4+y^4 usamos caminho do tipo y=mx. Isso dá
f4(x,mx)=xcdot mxcdot x(1-m)x^4(1+m^4)=m(1-m)1+m^41x,
que explode em módulo quando xto0 (a menos de casos degenerados m=0,1). Assim lim f4 não existe (é não limitado).

Passo 7

Em f7(x,y)=xyy-x^3 note que no caminho y=x^3 o denominador zera enquanto o numerador xcdot x^3=x^4 fica diferente de zero para xneq0, gerando divergência. Portanto lim f7 não existe.

Resposta

lim f1 não existe, lim f2=0, lim f3=0, lim f4 não existe, lim f5 não existe, lim f6=0, lim f7 não existe, lim f8=0.

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