Em um trapézio isósceles, a soma de dois ângulos internos é igual a 100^{\circ}. Determine as medidas de todos os ângulos internos.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio isósceles e diz que a soma de dois ângulos internos é igual a 100^\circ. A pergunta é: determinar as medidas de todos os ângulos internos do trapézio. Informações relevantes fornecidas:
  • O quadrilátero é um trapézio isósceles (ou seja, tem dois lados paralelos — as bases — e os outros dois lados iguais).
  • A soma de dois dos ângulos internos é 100^\circ.
  • Precisamos encontrar as quatro medidas dos ângulos internos.

Passo 2

Vamos nomear os ângulos do trapézio em ordem ao redor da figura como A, B, C e D. Em um trapézio isósceles existem duas propriedades importantes (vou explicar por que elas valem):
  1. Os ângulos da mesma base são iguais. Ou seja, os dois ângulos que ficam junto a uma das bases têm medida igual, e os dois que ficam junto à outra base também são iguais. Para ficar concreto, podemos escrever
A = C \quad\text{e}\quad B = D.
Explicação simples e intuitiva: como os lados não paralelos (as pernas) são congruentes, a figura tem uma simetria reflexiva em relação à mediatriz que troca as duas bases; essa simetria leva cada ângulo de uma base ao ângulo correspondente da outra base, então esses ângulos têm a mesma medida.
  1. Ângulos consecutivos adjacentes às bases são suplementares (a soma é 180^\circ), porque as bases são retas paralelas e um par de ângulos internos formados por uma transversal em duas retas paralelas soma 180^\circ. Assim podemos escrever
A + B = 180^\circ.
Como A=C e B=D, isso implica também C + D = 180^\circ e, de forma geral,
A + B = C + D = 180^\circ.

Passo 3

Com as igualdades do passo anterior, observamos que o trapézio tem apenas dois valores possíveis de ângulo: um ângulo agudo (vou chamar de \alpha) e um obtuso (vou chamar de \beta). Podemos então definir
\alpha = A = C,\qquad \beta = B = D.
Da propriedade de suplementaridade entre um ângulo de uma base e o ângulo adjacente da outra base temos
\alpha + \beta = 180^\circ.
Também, pela soma dos ângulos internos de um quadrilátero (que é 360^\circ), teríamos 2\alpha + 2\beta = 360^\circ, o que reduz à mesma relação \alpha+\beta=180^\circ. Aqui estou só confirmando coerência entre propriedades.

Passo 4

O enunciado afirma que "a soma de dois ângulos internos é 100^\circ". Vamos examinar as possibilidades compatíveis com a estrutura \alpha,\alpha,\beta,\beta:
  • Se a soma diz respeito a um ângulo de cada tipo (isto é, \alpha+\beta), então seria \alpha+\beta=100^\circ. Mas do passo anterior sabemos que \alpha+\beta=180^\circ. Logo essa possibilidade é impossível.
  • Restam as possibilidades de a soma referir-se a duas vezes o mesmo ângulo, ou seja, 2\alpha=100^\circ ou 2\beta=100^\circ. Essas são as únicas compatíveis com a estrutura do trapézio isósceles.

Passo 5

Resolver cada possibilidade:
  • Se 2\alpha = 100^\circ então
\alpha = \frac{100^\circ}{2}=50^\circ.
Como \alpha+\beta=180^\circ, segue
\beta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ.
  • Se, alternativamente, 2\beta = 100^\circ então \beta=50^\circ e \alpha=130^\circ. Essas duas soluções são apenas uma troca de nomes ( \alpha e \beta) — geometricamente isso significa que a soma dos dois ângulos informada pode ter sido dos dois ângulos menores ou dos dois maiores, mas o conjunto final das medidas é o mesmo: dois ângulos medindo 50^\circ e dois medindo 130^\circ.

Passo 6

Concluímos que, independentemente da escolha de quais dois ângulos foram somados no enunciado, as quatro medidas dos ângulos internos do trapézio isósceles são duas vezes 50^\circ e duas vezes 130^\circ. Em termo de A,B,C,D em ordem ao redor do trapézio temos, por exemplo,
A=50^\circ,\; B=130^\circ,\; C=50^\circ,\; D=130^\circ
ou a troca A=130^\circ,\; B=50^\circ,\; C=130^\circ,\; D=50^\circ. Ambas descrevem o mesmo conjunto de ângulos, apenas com orientação diferente.

Resposta

50^\circ,\;130^\circ,\;50^\circ,\;130^\circ

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