Em um trapézio isósceles, a soma de dois ângulos internos é igual a
. Determine as medidas de todos os ângulos internos.
Passo 1
O enunciado dá um trapézio isósceles e diz que a soma de dois ângulos internos é igual a
. A pergunta é: determinar as medidas de todos os ângulos internos do trapézio. Informações relevantes fornecidas:
- O quadrilátero é um trapézio isósceles (ou seja, tem dois lados paralelos — as bases — e os outros dois lados iguais).
- A soma de dois dos ângulos internos é
. - Precisamos encontrar as quatro medidas dos ângulos internos.
Passo 2
Vamos nomear os ângulos do trapézio em ordem ao redor da figura como
,
,
e
. Em um trapézio isósceles existem duas propriedades importantes (vou explicar por que elas valem):
- Os ângulos da mesma base são iguais. Ou seja, os dois ângulos que ficam junto a uma das bases têm medida igual, e os dois que ficam junto à outra base também são iguais. Para ficar concreto, podemos escrever
Explicação simples e intuitiva: como os lados não paralelos (as pernas) são congruentes, a figura tem uma simetria reflexiva em relação à mediatriz que troca as duas bases; essa simetria leva cada ângulo de uma base ao ângulo correspondente da outra base, então esses ângulos têm a mesma medida.
- Ângulos consecutivos adjacentes às bases são suplementares (a soma é
), porque as bases são retas paralelas e um par de ângulos internos formados por uma transversal em duas retas paralelas soma . Assim podemos escrever
Como
e
, isso implica também
e, de forma geral,
Passo 3
Com as igualdades do passo anterior, observamos que o trapézio tem apenas dois valores possíveis de ângulo: um ângulo agudo (vou chamar de
) e um obtuso (vou chamar de
). Podemos então definir
Da propriedade de suplementaridade entre um ângulo de uma base e o ângulo adjacente da outra base temos
Também, pela soma dos ângulos internos de um quadrilátero (que é
), teríamos
, o que reduz à mesma relação
. Aqui estou só confirmando coerência entre propriedades.
Passo 4
O enunciado afirma que "a soma de dois ângulos internos é
". Vamos examinar as possibilidades compatíveis com a estrutura
:
- Se a soma diz respeito a um ângulo de cada tipo (isto é,
), então seria . Mas do passo anterior sabemos que . Logo essa possibilidade é impossível. - Restam as possibilidades de a soma referir-se a duas vezes o mesmo ângulo, ou seja,
ou . Essas são as únicas compatíveis com a estrutura do trapézio isósceles.
Passo 5
Resolver cada possibilidade:
- Se
então
Como
, segue
- Se, alternativamente,
então e . Essas duas soluções são apenas uma troca de nomes ( e ) — geometricamente isso significa que a soma dos dois ângulos informada pode ter sido dos dois ângulos menores ou dos dois maiores, mas o conjunto final das medidas é o mesmo: dois ângulos medindo e dois medindo .
Passo 6
Concluímos que, independentemente da escolha de quais dois ângulos foram somados no enunciado, as quatro medidas dos ângulos internos do trapézio isósceles são duas vezes
e duas vezes
. Em termo de
em ordem ao redor do trapézio temos, por exemplo,
ou a troca
. Ambas descrevem o mesmo conjunto de ângulos, apenas com orientação diferente.