Em um trapézio retângulo, um ângulo interno não reto é o triplo de outro ângulo. Determine as medidas de todos os ângulos internos.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as medidas de todos os ângulos internos de um trapézio retângulo, sabendo que “um ângulo interno não reto é o triplo de outro ângulo”. Informações relevantes dadas pelo enunciado (listadas claramente):
- Temos um trapézio retângulo.
- Há ângulos internos que não são retos; entre esses, um vale o triplo do outro.
- A pergunta é: quais são as medidas (em graus) dos quatro ângulos internos desse trapézio?
Passo 2
Entender e usar uma propriedade do trapézio retângulo. Um trapézio retângulo tem um par de lados paralelos (as bases) e uma das bases é perpendicular a uma das laterais (a perna), o que faz com que existam exatamente dois ângulos internos retos. Ou seja, já sabemos que dois dos quatro ângulos valem
Isso reduz o problema: restam dois ângulos cuja soma, juntamente com os dois retos, deve totalizar o total de ângulos de um quadrilátero.
Passo 3
Usar a soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Para qualquer polígono com
lados, a soma dos ângulos internos é dada por
Aqui
, logo a soma dos quatro ângulos internos do trapézio (que é um quadrilátero) é
Expliquei o porquê: a fórmula vem de decompor o polígono em triângulos — para quadrilátero temos
triângulos, cada um somando
, dando
.
Passo 4
Calcular quanto sobra para os dois ângulos não retos. Como já temos dois ângulos de
cada, a soma desses dois é
Como a soma total deve ser
, a soma dos dois ângulos não retos restantes deve ser
Ou seja, os dois ângulos não retos somam
.
Passo 5
Traduzir a condição “um é o triplo do outro” em equação. Seja
a medida, em graus, do menor dos dois ângulos não retos. Então o outro é
. Como a soma dos dois é
, temos a equação
Expliquei: escolhi
para o menor ângulo; isso torna direto montar a equação linear simples.
Passo 6
Resolver a equação passo a passo. Soma dos termos do lado esquerdo:
Agora isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Portanto o menor ângulo não reto mede
. O outro (que é o triplo) mede
Passo 7
Fazer uma checagem rápida de consistência. Somando todos os ângulos:
o que bate com a soma exigida para um quadrilátero. Além disso, os dois ângulos não retos somam
, compatível com o fato de serem ângulos adjacentes cortados por bases paralelas (propriedade do trapézio). Tudo consistente.