Em um trapézio retângulo, um ângulo interno não reto é o triplo de outro ângulo. Determine as medidas de todos os ângulos internos.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as medidas de todos os ângulos internos de um trapézio retângulo, sabendo que “um ângulo interno não reto é o triplo de outro ângulo”. Informações relevantes dadas pelo enunciado (listadas claramente):
  • Temos um trapézio retângulo.
  • Há ângulos internos que não são retos; entre esses, um vale o triplo do outro.
  • A pergunta é: quais são as medidas (em graus) dos quatro ângulos internos desse trapézio?

Passo 2

Entender e usar uma propriedade do trapézio retângulo. Um trapézio retângulo tem um par de lados paralelos (as bases) e uma das bases é perpendicular a uma das laterais (a perna), o que faz com que existam exatamente dois ângulos internos retos. Ou seja, já sabemos que dois dos quatro ângulos valem
90^\circ.
Isso reduz o problema: restam dois ângulos cuja soma, juntamente com os dois retos, deve totalizar o total de ângulos de um quadrilátero.

Passo 3

Usar a soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Para qualquer polígono com n lados, a soma dos ângulos internos é dada por
(n-2)\cdot 180^\circ.
Aqui n=4, logo a soma dos quatro ângulos internos do trapézio (que é um quadrilátero) é
(4-2)\cdot 180^\circ = 2\cdot 180^\circ = 360^\circ.
Expliquei o porquê: a fórmula vem de decompor o polígono em triângulos — para quadrilátero temos 2 triângulos, cada um somando 180^\circ, dando 360^\circ.

Passo 4

Calcular quanto sobra para os dois ângulos não retos. Como já temos dois ângulos de 90^\circ cada, a soma desses dois é
90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.
Como a soma total deve ser 360^\circ, a soma dos dois ângulos não retos restantes deve ser
360^\circ - 180^\circ = 180^\circ.
Ou seja, os dois ângulos não retos somam \;180^\circ.

Passo 5

Traduzir a condição “um é o triplo do outro” em equação. Seja x a medida, em graus, do menor dos dois ângulos não retos. Então o outro é 3x. Como a soma dos dois é \;180^\circ, temos a equação
x + 3x = 180^\circ.
Expliquei: escolhi x para o menor ângulo; isso torna direto montar a equação linear simples.

Passo 6

Resolver a equação passo a passo. Soma dos termos do lado esquerdo:
4x = 180^\circ.
Agora isolamos x dividindo ambos os lados por 4:
x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ.
Portanto o menor ângulo não reto mede \;45^\circ. O outro (que é o triplo) mede
3x = 3\cdot 45^\circ = 135^\circ.

Passo 7

Fazer uma checagem rápida de consistência. Somando todos os ângulos:
90^\circ + 90^\circ + 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ,
o que bate com a soma exigida para um quadrilátero. Além disso, os dois ângulos não retos somam \;45^\circ + 135^\circ = 180^\circ, compatível com o fato de serem ângulos adjacentes cortados por bases paralelas (propriedade do trapézio). Tudo consistente.

Resposta

\;90^\circ
\;90^\circ
\;45^\circ
\;135^\circ

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