Discuta o sistema S=\left\{\begin{array}{l}x-y=2 \\\\ -3 x+2 y=-1\end{array}\right. e faça a interpretação geométrica

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
S = \begin{cases} x - y = 2,\\\\ -3x + 2y = -1, \end{cases}
que envolve duas equações de reta no plano. Vamos discutir a compatibilidade desse sistema usando determinantes e depois interpretar geometricamente como interseção de duas linhas.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -3 & 2 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det(A) = 1\cdot2 - (-1)\cdot(-3) = 2 - 3 = -1 \neq 0.
Como \det(A)\neq0, o sistema é compatível e determinado, ou seja, tem exatamente uma solução.

Passo 3

Para encontrar essa solução, usamos eliminação. Da primeira equação isolamos
x = y + 2
e substituímos na segunda:
-3(y+2) + 2y = -1 \quad\Longrightarrow\quad -3y -6 + 2y = -1 \quad\Longrightarrow\quad -y = 5 \quad\Longrightarrow\quad y = -5.
Então
x = y + 2 = -5 + 2 = -3.

Passo 4

Geometricamente, cada equação representa uma reta no plano (x,y).
A primeira reta é
x - y = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad y = x - 2
com coeficiente angular 1.
A segunda reta é
-3x + 2y = -1 \quad\Longleftrightarrow\quad y = \tfrac{3}{2}x - \tfrac12
com coeficiente angular \tfrac{3}{2}.
Como as inclinações são diferentes, as retas se cruzam em um único ponto, justamente \bigl(x,y\bigr)=(-3,-5). Esse ponto de interseção é a solução do sistema.

Resposta

A solução única é \bigl(x,y\bigr)=(-3,-5). Geometricamente, as retas y=x-2 e y=\tfrac{3}{2}x-\tfrac12 intersectam-se nesse ponto.

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