Determine lambda, para que o sistema abaixo admita solução:
c -4 x+3 y=2 5 x-4 y=0 2 x-y=lambda

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três equações e duas incógnitas, ou seja, é um sistema sobredeterminado. O conteúdo aqui é compatibilidade de sistemas lineares: como as duas primeiras equações formam um sistema 2times2 independente, elas determinam um único par (x,y). Para que exista solução do sistema inteiro, esse par também deve satisfazer a terceira equação, o que impõe um valor para lambda.

Passo 2

Analisamos as duas primeiras equações:
-4x + 3y = 2, 5x - 4y = 0
O determinante da matriz dos coeficientes é
det = (-4)(-4) - (5)(3) = 16 - 15 = 1 neq 0,
logo existe solução única para (x,y).

Passo 3

Para encontrar (x,y), usamos substituição. Da segunda equação,
5x - 4y = 0 Longrightarrow x = 45,y
Substituindo em -4x + 3y = 2,
-4l(45yr) + 3y = 2 Longrightarrow -165y + 3y = 2 Longrightarrow -165y + 155y = 2 Longrightarrow -15y = 2 Longrightarrow y = -10
Então
x = 45(-10) = -8

Passo 4

A fim de que o mesmo par (x,y)=(-8,-10) satisfaça a terceira equação
2x - y = lambda,
substituímos:
2(-8) - (-10) = lambda Longrightarrow -16 + 10 = lambda Longrightarrow lambda = -6

Resposta

lambda = -6

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