(2 pontos) Classifique cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta demonstrando, caso seja Verdadeira, ou dando um contra-exemplo, caso seja Falsa.
a) Todo subespaço vetorial é definido por somente uma base.
b) Qualquer plano em R3 é um subespaço de R3.
c) Todo subespaço é um subconjunto.
d) Dois vetores em R2 quando combinados linearmente geram sempre o R2 todo.
a) Todo subespaço vetorial é definido por somente uma base.
b) Qualquer plano em R3 é um subespaço de R3.
c) Todo subespaço é um subconjunto.
d) Dois vetores em R2 quando combinados linearmente geram sempre o R2 todo.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos quatro afirmações sobre subespaços vetoriais como Verdadeiras ou Falsas, justificando cada resposta. Vamos usar conceitos de base de um espaço vetorial, definição de subespaço, relação de subconjunto e noção de combinação linear para resolver.
Passo 2
Para a afirmação a) “Todo subespaço vetorial é definido por somente uma base.”
Essa afirmação é falsa. Um mesmo subespaço pode ter várias bases diferentes.
Contra-exemplo: o próprio é um subespaço de si mesmo.
Duas bases distintas de são, por exemplo,
Essa afirmação é falsa. Um mesmo subespaço pode ter várias bases diferentes.
Contra-exemplo: o próprio
Duas bases distintas de
e
Logo, não existe unicidade da base de um subespaço.
Passo 3
Para a afirmação b) “Qualquer plano em
é um subespaço de
.”
Essa afirmação é falsa. Um plano só é subespaço se contiver a origem.
Contra-exemplo: o plano
Essa afirmação é falsa. Um plano só é subespaço se contiver a origem.
Contra-exemplo: o plano
não contém
e, portanto, falha na condição de fechar para adição e multiplicação escalar.
Passo 4
Para a afirmação c) “Todo subespaço é um subconjunto.”
Essa afirmação é verdadeira.
Definição de subespaço: um subespaço de um espaço vetorial
é, antes de tudo, um subconjunto
que satisfaz certas propriedades (fechamento para soma e escalar). Logo, todo subespaço é necessariamente um subconjunto.
Essa afirmação é verdadeira.
Definição de subespaço: um subespaço
Passo 5
Para a afirmação d) “Dois vetores em
quando combinados linearmente geram sempre o
todo.”
Essa afirmação é falsa. É preciso que os dois vetores sejam linearmente independentes.
Contra-exemplo: os vetores e
em
são linearmente dependentes e seu span é o eixo
, não todo
.
Essa afirmação é falsa. É preciso que os dois vetores sejam linearmente independentes.
Contra-exemplo: os vetores
Resposta
a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Falsa