Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{2} :
S=\{(1,2),(1,0),(0,1)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(1,2),(1,0),(0,1)\}
e pede para explicar por que S não é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes:
  • Os vetores são (1,2), (1,0) e (0,1).
  • A pergunta é: explicar por que esse conjunto não é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar direitinho o que significa "ser uma base de \mathbb{R}^{2}". Uma coleção B de vetores é uma base de \mathbb{R}^{2} se e somente se duas coisas acontecem ao mesmo tempo:
  1. B gera \mathbb{R}^{2} (ou seja, \mathrm{span}(B)=\mathbb{R}^{2}). Isso significa que qualquer vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B.
  2. Os vetores de B são linearmente independentes. Linearmente independentes significa que a única solução para
\alpha v_1 + \beta v_2 + \cdots + \gamma v_k = (0,0)
é \alpha=\beta=\cdots=\gamma=0. Se existir alguma combinação não-trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dê o vetor nulo, os vetores são linearmente dependentes.
Para ser uma base de \mathbb{R}^{2} precisamos exatamente de 2 vetores linearmente independentes (porque a dimensão de \mathbb{R}^{2} é 2). Isso já dá uma pista: um conjunto com 3 vetores em \mathbb{R}^{2} pode ser dependente — mas vamos mostrar isso explicitamente para S.

Passo 3

Uma forma direta de provar dependência linear é escrever um dos vetores como combinação linear dos outros. Vou tentar expressar (1,2) usando (1,0) e (0,1).
Considere a combinação
(1,0) + 2(0,1).
Calcule componente a componente:
  • Componente x: 1 + 2\cdot 0 = 1.
  • Componente y: 0 + 2\cdot 1 = 2.
Logo
(1,0) + 2(0,1) = (1,2).
Isso mostra que (1,2) é combinação linear de (1,0) e (0,1). Portanto existe uma relação não-trivial entre os vetores de S:
(1,2) - 1\cdot(1,0) - 2\cdot(0,1) = (0,0).
Como os coeficientes (1,-1,-2) não são todos zero, os vetores de S são linearmente dependentes.

Passo 4

Outra maneira, equivalente, é montar a condição de dependência com coeficientes \alpha,\beta,\gamma\): \[\alpha(1,2) + \beta(1,0) + \gamma(0,1) = (0,0).
Isso dá o sistema de equações (componentes x e y):
\begin{cases} \alpha + \beta = 0,\\[4pt] 2\alpha + \gamma = 0. \end{cases}
Podemos escolher \alpha=1\]. Então \(\beta=-1 e \gamma=-2 resolvem o sistema, produzindo a combinação (1,-1,-2) que não é trivial e que anula. Conclusão: dependência linear.]

Passo 5

Por que isso impede S de ser base? Lembra: uma base exige linear independência. Como S é linearmente dependente, falha uma das condições necessárias para ser base, então S não é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Um comentário final útil: apesar de S ser dependente, ele gera \mathbb{R}^{2}, porque já que (1,0) e (0,1) estão em S, toda combinação (x,y)=x(1,0)+y(0,1) é possível. Logo S gera \mathbb{R}^{2} mas não é independente — falta independência para ser base. Removendo o vetor redundante (1,2) fica o par \{(1,0),(0,1)\}, que é uma base (a base canônica).

Resposta

S não é uma base de \mathbb{R}^{2} porque é linearmente dependente: (1,2)=(1,0)+2(0,1), logo (1,2)-1\cdot(1,0)-2\cdot(0,1)=(0,0) com coeficientes não todos nulos.

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