Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para explicar por que
não é uma base de
.
Informações relevantes:
- Os vetores são
, e . - A pergunta é: explicar por que esse conjunto não é uma base de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar direitinho o que significa "ser uma base de
". Uma coleção
de vetores é uma base de
se e somente se duas coisas acontecem ao mesmo tempo:
-
gera (ou seja, ). Isso significa que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores de . - Os vetores de
são linearmente independentes. Linearmente independentes significa que a única solução para
é
. Se existir alguma combinação não-trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dê o vetor nulo, os vetores são linearmente dependentes.
Para ser uma base de
precisamos exatamente de 2 vetores linearmente independentes (porque a dimensão de
é 2). Isso já dá uma pista: um conjunto com 3 vetores em
pode ser dependente — mas vamos mostrar isso explicitamente para
.
Passo 3
Uma forma direta de provar dependência linear é escrever um dos vetores como combinação linear dos outros. Vou tentar expressar
usando
e
.
Considere a combinação
Calcule componente a componente:
- Componente
: . - Componente
: .
Logo
Isso mostra que
é combinação linear de
e
. Portanto existe uma relação não-trivial entre os vetores de
:
Como os coeficientes
não são todos zero, os vetores de
são linearmente dependentes.
Passo 4
Outra maneira, equivalente, é montar a condição de dependência com coeficientes
Isso dá o sistema de equações (componentes
e
):
Podemos escolher
e
resolvem o sistema, produzindo a combinação
que não é trivial e que anula. Conclusão: dependência linear.]
Passo 5
Por que isso impede
de ser base? Lembra: uma base exige linear independência. Como
é linearmente dependente, falha uma das condições necessárias para ser base, então
não é uma base de
.
Um comentário final útil: apesar de
ser dependente, ele gera
, porque já que
e
estão em
, toda combinação
é possível. Logo
gera
mas não é independente — falta independência para ser base. Removendo o vetor redundante
fica o par
, que é uma base (a base canônica).