Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O enunciado pede que eu explique por que
não é uma base de
.
A informação dada é a própria definição do conjunto:
A informação dada é a própria definição do conjunto:
Passo 2
Definição útil (explicada): um subconjunto
é uma base de
se e somente se duas condições forem satisfeitas simultaneamente:
-
é linearmente independente; -
gera , isto é, .
Vou usar essas duas condições para avaliar
. Também é útil lembrar que
: qualquer base de
tem exatamente dois vetores.
Passo 3
Observação sobre quantidade de vetores: o conjunto
tem apenas um vetor. Como
, qualquer base de
precisa ter exatamente dois vetores. Portanto, apenas pelo tamanho de
já fica claro que
não pode ser uma base de
. Vou complementar essa razão com uma demonstração direta envolvendo o span.
Passo 4
Calcular o span de
. Por definição,
Esse conjunto é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor
, ou seja, uma reta que passa pela origem no plano — uma subespaço unidimensional de
.
Passo 5
Mostrar explicitamente que essa reta não é todo
. Basta encontrar um vetor em
que não possa ser escrito como
. Por exemplo, tente escrever
como múltiplo de
:
isto é, resolve o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira obtém-se
, contradição. Logo não existe
tal que
. Isso mostra que
, portanto
Passo 6
Verificação de independência linear (comentar): o conjunto
contém um vetor não-nulo, e um conjunto formado por um único vetor não-nulo é linearmente independente. De fato, se
então
e
implicam
. Logo
é linearmente independente, mas isso não basta para ser base: falta gerar
.
Passo 7
Conclusão final lógica:
é linearmente independente, mas
é uma reta (subespaço de dimensão
) e não todo
. Alternativamente, pelo fato de
, qualquer base precisa ter dois vetores; como
tem apenas um vetor, não pode ser base. Portanto
não é uma base de
.