Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{2} :
S=\{(-3,2)\}

Passo 1

O enunciado pede que eu explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{2}.
A informação dada é a própria definição do conjunto:
S=\{(-3,2)\}.

Passo 2

Definição útil (explicada): um subconjunto B\subseteq\mathbb{R}^{2} é uma base de \mathbb{R}^{2} se e somente se duas condições forem satisfeitas simultaneamente:
  1. B é linearmente independente;
  2. B gera \mathbb{R}^{2}, isto é, \operatorname{span}(B)=\mathbb{R}^{2}.
Vou usar essas duas condições para avaliar S. Também é útil lembrar que \dim(\mathbb{R}^{2})=2: qualquer base de \mathbb{R}^{2} tem exatamente dois vetores.

Passo 3

Observação sobre quantidade de vetores: o conjunto S tem apenas um vetor. Como \dim(\mathbb{R}^{2})=2, qualquer base de \mathbb{R}^{2} precisa ter exatamente dois vetores. Portanto, apenas pelo tamanho de S já fica claro que S não pode ser uma base de \mathbb{R}^{2}. Vou complementar essa razão com uma demonstração direta envolvendo o span.

Passo 4

Calcular o span de S. Por definição,
\operatorname{span}(S)=\{t(-3,2)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Esse conjunto é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor (-3,2), ou seja, uma reta que passa pela origem no plano — uma subespaço unidimensional de \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Mostrar explicitamente que essa reta não é todo \mathbb{R}^{2}. Basta encontrar um vetor em \mathbb{R}^{2} que não possa ser escrito como t(-3,2). Por exemplo, tente escrever (1,0) como múltiplo de (-3,2):
t(-3,2)=(1,0)
isto é, resolve o sistema
-3t=1,\qquad 2t=0.
Da segunda equação vem t=0. Substituindo na primeira obtém-se -3\cdot 0=0\neq 1, contradição. Logo não existe t\in\mathbb{R} tal que t(-3,2)=(1,0). Isso mostra que (1,0)\notin\operatorname{span}(S), portanto
\operatorname{span}(S)\neq\mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Verificação de independência linear (comentar): o conjunto S contém um vetor não-nulo, e um conjunto formado por um único vetor não-nulo é linearmente independente. De fato, se t(-3,2)=(0,0) então -3t=0 e 2t=0 implicam t=0. Logo S é linearmente independente, mas isso não basta para ser base: falta gerar \mathbb{R}^{2}.

Passo 7

Conclusão final lógica: S é linearmente independente, mas \operatorname{span}(S) é uma reta (subespaço de dimensão 1) e não todo \mathbb{R}^{2}. Alternativamente, pelo fato de \dim(\mathbb{R}^{2})=2, qualquer base precisa ter dois vetores; como S tem apenas um vetor, não pode ser base. Portanto S não é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Resposta

S não é uma base de \mathbb{R}^{2} porque \operatorname{span}(S)=\{t(-3,2)\mid t\in\mathbb{R}\} é uma reta (dimensão 1) e não gera \mathbb{R}^{2}; alternativamente, \dim(\mathbb{R}^{2})=2 e S tem apenas um vetor.

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