Encontre a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
P_{7}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a dimensão do espaço vetorial P_{7}.
Informação assumida (padrão neste tipo de questão): P_{7} é o espaço de todos os polinómios de grau menor ou igual a 7 com coeficientes em um corpo (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Ou seja, todo p\in P_{7} tem a forma
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{7}x^{7},
com a_{0},a_{1},\dots,a_{7} escalares.

Passo 2

Definição útil: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço (ou seja, o número mínimo de vetores que geram o espaço e que são linearmente independentes).
Vamos construir uma base natural para P_{7}: o conjunto dos monómios de grau até 7.

Passo 3

Proponho o conjunto
\mathcal{B}=\{1,x,x^{2},x^{3},x^{4},x^{5},x^{6},x^{7}\}.
Mostro primeiro que \mathcal{B} gera P_{7} (ou seja, é gerador):
qualquer p\in P_{7} tem, por hipótese, a forma
p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{7}x^{7},
portanto p é combinação linear dos vetores de \mathcal{B}. Logo \mathcal{B} gera P_{7}.

Passo 4

Agora mostro que \mathcal{B} é linearmente independente. Suponha que existam escalares c_{0},c_{1},\dots,c_{7} tais que
c_{0}\cdot 1 + c_{1}x + c_{2}x^{2} + \cdots + c_{7}x^{7} = 0
como polinómio (isto é, é o polinómio identicamente nulo). Dois polinómios iguais têm todos os coeficientes iguais; portanto os coeficientes de cada potência de x devem ser zero:
c_{0}=c_{1}=\cdots=c_{7}=0.
Isso mostra que não há combinação linear não trivial que dê o polinómio zero, logo \mathcal{B} é linearmente independente.

Passo 5

Como \mathcal{B} é um conjunto gerador e linearmente independente de P_{7}, é uma base de P_{7}. O número de elementos de \mathcal{B} é 8. Portanto a dimensão de P_{7} é 8.
Observação prática: em geral \dim(P_{n})=n+1.

Resposta

\dim(P_{7})=8

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