Encontre a dimensão dos seguintes espaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a dimensão do espaço vetorial
.
Informação assumida (padrão neste tipo de questão):
é o espaço de todos os polinómios de grau menor ou igual a
com coeficientes em um corpo (por exemplo
ou
). Ou seja, todo
tem a forma
com
escalares.
Passo 2
Definição útil: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço (ou seja, o número mínimo de vetores que geram o espaço e que são linearmente independentes).
Vamos construir uma base natural para
: o conjunto dos monómios de grau até
.
Passo 3
Proponho o conjunto
Mostro primeiro que
gera
(ou seja, é gerador):
qualquer tem, por hipótese, a forma
qualquer
portanto
é combinação linear dos vetores de
. Logo
gera
.
Passo 4
Agora mostro que
é linearmente independente. Suponha que existam escalares
tais que
como polinómio (isto é, é o polinómio identicamente nulo). Dois polinómios iguais têm todos os coeficientes iguais; portanto os coeficientes de cada potência de
devem ser zero:
Isso mostra que não há combinação linear não trivial que dê o polinómio zero, logo
é linearmente independente.
Passo 5
Como
é um conjunto gerador e linearmente independente de
, é uma base de
. O número de elementos de
é
. Portanto a dimensão de
é
.
Observação prática: em geral
.