Determine:
\left(x^{4}-3 x^{2}+5\right)(2 x+3)+\left(x^{2}+3 x\right)\left(4 x^{3}-6 x\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma de dois produtos de polinômios:
(x^{4}-3x^{2}+5)(2x+3) \quad\text{e}\quad (x^{2}+3x)(4x^{3}-6x).
O conteúdo é multiplicação de polinômios e combinação de termos semelhantes, usando a propriedade distributiva.

Passo 2

Vamos expandir o primeiro produto aplicando a distributiva termo a termo:
(x^{4}-3x^{2}+5)(2x+3) = x^{4}\cdot(2x+3) -3x^{2}\cdot(2x+3) +5\cdot(2x+3).
Calculando cada parte:
x^{4}\cdot(2x+3)=2x^{5}+3x^{4},\quad -3x^{2}\cdot(2x+3)=-6x^{3}-9x^{2},\quad 5\cdot(2x+3)=10x+15.
Logo,
(x^{4}-3x^{2}+5)(2x+3) =2x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-9x^{2}+10x+15.

Passo 3

Agora expandimos o segundo produto:
(x^{2}+3x)(4x^{3}-6x) = x^{2}\cdot(4x^{3}-6x) +3x\cdot(4x^{3}-6x).
Calculando cada parte:
x^{2}\cdot(4x^{3}-6x)=4x^{5}-6x^{3},\quad 3x\cdot(4x^{3}-6x)=12x^{4}-18x^{2}.
Portanto,
(x^{2}+3x)(4x^{3}-6x) =4x^{5}+12x^{4}-6x^{3}-18x^{2}.

Passo 4

Somamos os dois resultados termo a termo:
\bigl(2x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-9x^{2}+10x+15\bigr) + \bigl(4x^{5}+12x^{4}-6x^{3}-18x^{2}\bigr).
Agrupando coeficientes semelhantes:
2x^{5}+4x^{5}=6x^{5},\quad 3x^{4}+12x^{4}=15x^{4},\quad -6x^{3}-6x^{3}=-12x^{3},
-9x^{2}-18x^{2}=-27x^{2},\quad 10x+0=10x,\quad 15+0=15.

Resposta

6x^{5}+15x^{4}-12x^{3}-27x^{2}+10x+15.

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