Escreva o conjunto \left[-2 ; \frac{5}{7}[\cup]-\sqrt{2} ; \frac{3}{5}\left[\cup\left[\frac{\sqrt{3}}{3} ; 8[\right.\right.\right. como uma união de intervalos disjuntos.
Dica: Faça isso usando intervalos de maior comprimento possível, que tenham como extremos exatamente os extremos dos intervalos da união dada.

Passo 1

O enunciado pede a união dos três intervalos
I_{1} = \bigl[-2; \tfrac{5}{7}\bigr[,\quad I_{2} = \bigl]-\sqrt{2}; \tfrac{3}{5}\bigr[,\quad I_{3} = \bigl[\tfrac{\sqrt{3}}{3}; 8\bigr[
como uma união de intervalos disjuntos de maior comprimento possível, usando somente os extremos fornecidos. O conteúdo é teoria de conjuntos e operações com intervalos reais.

Passo 2

Vamos ordenar todos os extremos em \mathbb{R} (valores aproximados entre parênteses):
-2 < -\sqrt{2}\approx -1,4142 < \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,5774 < \frac{3}{5}=0,6 < \frac{5}{7}\approx 0,7143 < 8.
Em seguida, notar onde cada intervalo atua:
  • I_{1} cobre de -2 até 5/7.
  • I_{2} cobre de -\sqrt{2} até 3/5.
  • I_{3} cobre de \sqrt{3}/3 até 8.

Passo 3

Comparando as coberturas:
  • I_{1}=[-2,5/7[ já inclui todo o trecho de I_{2}, pois -2\le -\sqrt{2} e 3/5<5/7.
  • Além disso, I_{3} começa em \tfrac{\sqrt{3}}{3}\approx0,5774, valor que está dentro de [-2,5/7[, e vai até 8.
    Portanto não há lacunas: a união dos três intervalos é contínua de -2 até 8.

Passo 4

Como não há interrupções, a união pode ser expressa como um único intervalo com extremos -2 (incluso) e 8 (não incluso).

Resposta

\bigl[-2;8\bigr[

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