Determine f(x)=lim n +infty fn(x). Indique o domínio de f.
(a) fn(x)=n x^2+1n;

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede para encontrar o limite da função quando tende ao infinito, ou seja, . Além disso, precisamos determinar o domínio dessa função . Vamos usar conceitos de limites e análise de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de fn(x) = n x^2 + 1n . Temos:
fn(x) = n x^2n + 1n = x^2 + 1n
Podemos dividir cada termo do numerador por :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = limn to +infty ( x^2 + 1n ) quando f(x) = x^2 + 0 = x^2 tende ao infinito. Ou seja:
Sabemos que , então:

Passo 4

Então, a função é simplesmente . Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 5

A função é um polinômio do segundo grau, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Ou seja, não há restrições para .

Resposta

A função limite é e o domínio de é (todos os números reais).

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