Determine f(x)=lim n +infty fn(x). Indique o domínio de f.
(d) fn(x)=n x^2+1n x^2;

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar e indicar o domínio de . Aqui, estamos trabalhando com sequências de funções e limites, que fazem parte do estudo de Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência de funções e identificar os valores de para os quais essa função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
fn(x) = n x^2 + 1n x^2
Para encontrar o limite de quando tende ao infinito, precisamos simplificar essa expressão.

Passo 3

Vamos simplificar fn(x) = n x^2 + 1n x^2 = n x^2n x^2 + 1n x^2 = 1 + 1n x^2 :
Aqui, dividimos o numerador em duas partes para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Agora, calculamos o limite de cada termo separadamente quando limn +infty 1 = 1 tende ao infinito:
limn +infty 1n x^2 = 0 (porque o denominador cresce sem limite)
limn +infty fn(x) = 1 + 0 = 1
Portanto:

Passo 5

No entanto, precisamos verificar o domínio de n x^2 neq 0 implies x neq 0 . Observamos que na expressão original de , o denominador é . Para que a função esteja definida, é necessário que o denominador não seja zero:
Isso significa que está definido para todos os valores de exceto .

Resposta

f(x) = 1 para todo x neq 0
O domínio de é , ou seja, todos os números reais exceto zero.

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