Determine se as séries a seguir são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente os testes de convergência absoluta e condicional, além do teste da razão. Vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série e aplicar esses testes passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se converge, então a série original é absolutamente convergente.
Por outro lado, uma série é condicionalmente convergente se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
E, claro, se nem a série original nem a série dos valores absolutos convergem, a série é divergente.
Passo 3
Vamos começar analisando a série dos valores absolutos:
Simplificando a expressão:
(n+2)^n2^n n^n = ( n+22n )^n = ( 12 + 1n )^n
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite do termo geral dessa série:
limn to infty ( 12 + 1n )^n
Sabemos que limn to infty ( 12 + 1n )^n = limn to infty ( 1 + 1/21 )^n = e^1/2 . Aplicando isso:
Então, o limite é , que é uma constante maior que zero.
Passo 5
Pelo Critério da Divergência, se o limite do termo geral não é zero, ou seja, limn to infty (n+2)^n2^n n^n = e^1/2 neq 0 , então a série diverge.
Como descobrimos que:
Então, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 6
Agora, vamos verificar a convergência da série original alternada usando o Teste da Série Alternada. Para isso, precisamos verificar se:
Os termos são decrescentes.
.
Já vimos que , então, pelo Critério da Divergência, a série alternada também diverge.