Encontre os pontos de mínimo e máximo da função f no intervalo I, em cada caso a seguir.
f(x)=raiz3+2 x-x^3, I=[-12, 1]

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f em I=[-tfrac12,1]. Como f(x)=raiz3+2x-x^3 é contínua em I e derivável no interior (onde o radicando é positivo), pelo Teorema de Weierstrass os candidatos a extremos são os pontos críticos ( f'=0 ou não derivável) e os extremos do intervalo.

Passo 2

Definimos g(x)=3+2x-x^3, de modo que f(x)=raizg(x). No interior de I temos
f'(x)=g'(x)2raizg(x) com g'(x)=2-3x^2
Assim, f'(x)=0 exatamente quando
2-3x^2=0 Longrightarrow x^2=tfrac23 Longrightarrow x=pmraiztfrac23
Destes, apenas x=raiztfrac23 pertence ao interior l(-tfrac12,1r).

Passo 3

Para classificar esse ponto, observamos o sinal de g'(x)=2-3x^2:
  • Se |x|<raiz2/3, então g'(x)>0 e f'l(x)>0, logo f cresce.
  • Se |x|>raiz2/3, então g'(x)<0 e f'l(x)<0, logo f decresce.
    Portanto f cresce em l[-tfrac12,raiztfrac23r] e decresce em l[raiztfrac23,1r], caracterizando x=raiztfrac23 como ponto de máximo local (e também global em I).

Passo 4

Calculamos os valores de f nos candidatos x=-tfrac12, x=raiztfrac23 e x=1:
fl(-tfrac12r) =raiz3-1+tfrac18 =raiztfrac178,
fl(raiztfrac23r) =raiz3 + tfrac43raiztfrac23,
f(1)=raiz4=2
Comparando, o menor valor é raiztfrac178 em x=-tfrac12 e o maior é raiz3+tfrac43raiztfrac23 em x=raiztfrac23.

Resposta

Mínimo global: x=-tfrac12, f(-tfrac12)=raiztfrac178.
Máximo global: x=raiztfrac23, fl(raiztfrac23r)=raiz3+tfrac43raiztfrac23.

Exercícios relacionados