Determine:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule
. As informações relevantes são:
- A variável tende para
. - O numerador é
(isto é, o seno de ; em notação matemática usual escrevemos ). - O denominador é
.
A pergunta é: qual é o valor do limite?
Passo 2
Primeiro vamos usar uma identidade simples e muito útil: para todo
vale
Explicação didática: o seno de um ângulo é a ordenada (coordenada
) do ponto na circunferência unitária. Girar o ângulo para
é refletir esse ponto em relação ao eixo
, o que troca o sinal da coordenada
. Por isso o seno muda de sinal. É uma propriedade básica de simetria chamada de função ímpar.
Passo 3
Aplicando essa identidade na expressão do limite obtemos, para todo
(com
no quociente),
Portanto
desde que o limite
exista. Agora nosso problema reduz-se a calcular
.
Passo 4
Vamos calcular
. A técnica clássica é usar o Teorema do Confronto (squeeze): se para
perto de
conseguimos duas funções que “apertam”
e ambas tendem ao mesmo limite, então
tende a esse limite também. Precisamos, então, uma desigualdade do tipo
com
. O resultado clássico é que
.
Passo 5
Vamos obter a desigualdade usando geometria da circunferência unitária (para
). Considere o setor circular central de ângulo
no raio
. Compare as áreas: a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda, a área do setor e a área do triângulo formado pela tangente ao círculo. Calculamos:
- Área do triângulo formado por dois raios com ângulo
: pela fórmula da área (aqui e ), obtemos
-
Área do setor circular de ângulo
e raio : é (pois ). -
Área do triângulo formado pela tangente: sua base é
(do centro até o ponto de tangência projetado) e a altura é , então
Geometricamente o triângulo inscrito tem área menor que a do setor, que por sua vez é menor que a do triângulo formado pela tangente. Assim
Multiplicando tudo por
obtemos a desigualdade clássica, válida para
:
Passo 6
A partir de
dividimos por
e manipulamos para obter uma desigualdade envolvendo
. Começando por
temos
Da outra desigualdade
obtemos
Invertendo (note que para
pequeno
, então a inversão preserva a desigualdade) resulta
Juntando as duas desigualdades:
Passo 7
Agora aplicamos o Teorema do Confronto: ao fazer
temos
e o lado superior já é
. Assim
Passo 8
Para a passagem pela esquerda (
) notamos que a função
é par: de fato
Logo o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Portanto o limite bilateral existe e
Passo 9
Voltando ao que queríamos: lembrando do Passo 3 temos
Você sobreviveu! O resultado é simples quando a gente quebra em etapas: usar a propriedade ímpar do seno, reduzir ao limite padrão
e aplicar o confronto.