Determine:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(-x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(-x)}{x}. As informações relevantes são:
  • A variável tende para \,0.
  • O numerador é \operatorname{sen}(-x) (isto é, o seno de -x; em notação matemática usual escrevemos \sin(-x)).
  • O denominador é x.
    A pergunta é: qual é o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(-x)}{x}?

Passo 2

Primeiro vamos usar uma identidade simples e muito útil: para todo x vale
\sin(-x) = -\sin(x).
Explicação didática: o seno de um ângulo é a ordenada (coordenada y) do ponto na circunferência unitária. Girar o ângulo para -x é refletir esse ponto em relação ao eixo x, o que troca o sinal da coordenada y. Por isso o seno muda de sinal. É uma propriedade básica de simetria chamada de função ímpar.

Passo 3

Aplicando essa identidade na expressão do limite obtemos, para todo x (com x\neq0 no quociente),
\frac{\sin(-x)}{x} = -\frac{\sin x}{x}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(-x)}{x} = -\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x},
desde que o limite \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} exista. Agora nosso problema reduz-se a calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}.

Passo 4

Vamos calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}. A técnica clássica é usar o Teorema do Confronto (squeeze): se para x perto de 0 conseguimos duas funções que “apertam” \frac{\sin x}{x} e ambas tendem ao mesmo limite, então \frac{\sin x}{x} tende a esse limite também. Precisamos, então, uma desigualdade do tipo
g(x)\le \frac{\sin x}{x}\le h(x)
com \lim g(x)=\lim h(x)=L. O resultado clássico é que L=1.

Passo 5

Vamos obter a desigualdade usando geometria da circunferência unitária (para 0<x<\tfrac{\pi}{2}). Considere o setor circular central de ângulo x no raio 1. Compare as áreas: a área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda, a área do setor e a área do triângulo formado pela tangente ao círculo. Calculamos:
  • Área do triângulo formado por dois raios com ângulo x: pela fórmula da área \tfrac{1}{2}ab\sin C (aqui a=b=1 e C=x), obtemos
\text{área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\sin x.áâ
  • Área do setor circular de ângulo x e raio 1: é \tfrac{1}{2}r^2 x=\tfrac{1}{2}x (pois r=1).
  • Área do triângulo formado pela tangente: sua base é 1 (do centro até o ponto de tangência projetado) e a altura é \tan x, então
\text{área do triângulo tangente}=\tfrac{1}{2}\tan x.áâ
Geometricamente o triângulo inscrito tem área menor que a do setor, que por sua vez é menor que a do triângulo formado pela tangente. Assim
\tfrac{1}{2}\sin x < \tfrac{1}{2}x < \tfrac{1}{2}\tan x.
Multiplicando tudo por 2 obtemos a desigualdade clássica, válida para 0<x<\tfrac{\pi}{2}:
\sin x < x < \tan x.

Passo 6

A partir de \sin x < x < \tan x dividimos por x>0 e manipulamos para obter uma desigualdade envolvendo \dfrac{\sin x}{x}. Começando por \sin x < x temos
\frac{\sin x}{x} < 1.
Da outra desigualdade x < \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} obtemos
\frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo (note que para x pequeno \sin x>0, então a inversão preserva a desigualdade) resulta
\cos x < \frac{\sin x}{x}.
Juntando as duas desigualdades:
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \qquad\text{para }0<x<\tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Agora aplicamos o Teorema do Confronto: ao fazer x\to 0^+ temos \cos x \to 1 e o lado superior já é 1. Assim
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 8

Para a passagem pela esquerda ( x\to 0^-) notamos que a função \dfrac{\sin x}{x} é par: de fato
\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{\sin x}{x}.
Logo o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita. Portanto o limite bilateral existe e
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 9

Voltando ao que queríamos: lembrando do Passo 3 temos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(-x)}{x} = -\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = -1.
Você sobreviveu! O resultado é simples quando a gente quebra em etapas: usar a propriedade ímpar do seno, reduzir ao limite padrão \sin x/x e aplicar o confronto.

Resposta

-1

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