Determine \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t) e verifique se a função vetorial F(t) é contínua em t_{0}, se
F(t)=\left(\frac{t^{2}-2}{t+1}, \frac{\sin t}{t}\right) e t_{0}=0;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{t\to 0}F(t)
e verificar se F é contínua em t_{0}=0, onde
F(t)=\Bigl(\frac{t^{2}-2}{t+1},\,\frac{\sin t}{t}\Bigr).
O conteúdo envolvido são limites de funções reais e o critério de continuidade de funções vetoriais: F é contínua em 0 se existe F(0) e
\lim_{t\to0}F(t)=F(0).

Passo 2

Para o primeiro componente, como o denominador em t=0 não anula, podemos simplesmente substituir t=0:
\lim_{t\to0}\frac{t^{2}-2}{t+1} =\frac{0^{2}-2}{0+1} =-2.

Passo 3

Para o segundo componente, usamos o limite trigonométrico clássico:
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 4

Combinando os dois resultados, obtemos
\lim_{t\to0}F(t)=(-2,\,1).

Passo 5

Para verificar continuidade, é preciso que F(0) exista e que seja igual ao limite acima. O primeiro componente \frac{0^{2}-2}{0+1}=-2 está bem definido em t=0, mas o segundo componente \frac{\sin0}{0} é indefinido. Logo, a função F não está nem mesmo definida em t=0, e portanto não pode ser contínua aí.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to0}F(t)=(-2,\,1), e F não é contínua em t_{0}=0 porque o segundo componente não está definido em 0.

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