Determine \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t) e verifique se a função vetorial F(t) é contínua em t_{0}, se
F(t)=\left(\frac{t^{3}-1}{t^{2}-1}, \frac{t-1}{\sqrt[3]{t}-1}\right) e t_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede o limite \lim_{t\to1}F(t) e a verificação de continuidade em t_{0}=1, onde
F(t)=\biggl(\frac{t^{3}-1}{t^{2}-1},\;\frac{t-1}{\sqrt[3]{t}-1}\biggr).
O conteúdo envolve cálculo de limite de função vetorial por componentes e definição de continuidade.

Passo 2

Para a primeira componente, notamos a forma indeterminada \tfrac{0}{0} em t=1. Usamos fatoração de diferença de cubos e quadrados:
t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1), \qquad t^{2}-1=(t-1)(t+1).
Cancelando t-1, obtemos para t\neq1
\frac{t^{3}-1}{t^{2}-1} =\frac{t^{2}+t+1}{t+1}.
Fazendo t\to1,
\lim_{t\to1}\frac{t^{3}-1}{t^{2}-1} =\frac{1^{2}+1+1}{1+1} =\frac{3}{2}.

Passo 3

Para a segunda componente, seja u=\sqrt[3]{t}, então t=u^{3} e t-1=u^{3}-1. Aplicando a fatoração
u^{3}-1=(u-1)(u^{2}+u+1),
temos, para u\neq1 (isto é, t\neq1),
\frac{t-1}{\sqrt[3]{t}-1} =\frac{u^{3}-1}{u-1} =u^{2}+u+1 =t^{\tfrac{2}{3}}+t^{\tfrac{1}{3}}+1.
Avaliar em t\to1
\lim_{t\to1}\frac{t-1}{\sqrt[3]{t}-1} =1+1+1 =3.

Passo 4

Juntando os resultados,
\lim_{t\to1}F(t) =\bigl(\tfrac{3}{2},\,3\bigr).

Passo 5

Para continuidade em t_{0}=1 seria preciso que F(1) existisse e fosse igual ao limite. Como ambas as componentes são indeterminadas em t=1, F(1) não está definido no enunciado. Logo, F não é contínua em t=1.

Resposta

\lim_{t\to1}F(t)=\bigl(\tfrac{3}{2},\,3\bigr),
e F não é contínua em t_{0}=1 porque F(1) não está definido.

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