Determine \lim _{t \rightarrow t_{0}} F(t) e verifique se a função vetorial F(t) é contínua em t_{0}, se
F(t)=(2 t+1, t, t-1) e t_{0}=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial F(t)=(2t+1,\;t,\;t-1) quando t\to t_{0}=3 e verificar se ela é contínua em t_{0}. O conteúdo aqui é limite de função vetorial e critério de continuidade: F é contínua em t_{0} se \lim_{t\to t_{0}}F(t)=F(t_{0}).

Passo 2

Vamos calcular o limite componente a componente:
\lim_{t\to3}(2t+1)=2\cdot3+1=7,
\lim_{t\to3}t=3,
\lim_{t\to3}(t-1)=3-1=2.
Logo,
\lim_{t\to3}F(t)=(7,\,3,\,2).

Passo 3

Agora avaliamos F em t_{0}=3:
F(3)=(2\cdot3+1,\;3,\;3-1)=(7,\,3,\,2).
Como \lim_{t\to3}F(t) = F(3), concluímos que F é contínua em t_{0}=3.

Resposta

\lim_{t\to3}F(t)=(7,\,3,\,2),
e F(t) é contínua em t_{0}=3.

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