Parametrize o conjunto C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2}=4, y \geq-x, y>x\right\} como uma curva.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o arco \;C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=4,\;y\ge -x,\;y>x\}.
Como é parte de um círculo de raio 2, vamos usar a parametrização por ângulo (polar).

Passo 2

Usamos a parametrização padrão do círculo de raio 2:
\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t\bigr),
e então precisamos traduzir as desigualdades em condições sobre t.

Passo 3

A condição y\ge -x vira
2\sin t \;\ge\;-2\cos t \quad\Longleftrightarrow\quad \sin t + \cos t \;\ge\;0.
Como
\sin t + \cos t = \sqrt{2}\,\sin\!\bigl(t + \tfrac{\pi}{4}\bigr),
temos \sin(t+\tfrac{\pi}{4})\ge0, isto é
t + \tfrac{\pi}{4}\;\in\;[0,\pi]\;+\;2\pi\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad t\in[-\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{3\pi}{4}]+2\pi\mathbb{Z}.

Passo 4

A condição y>x vira
2\sin t \;>\;2\cos t \quad\Longleftrightarrow\quad \sin t - \cos t \;>\;0.
Como
\sin t - \cos t = \sqrt{2}\,\sin\!\bigl(t - \tfrac{\pi}{4}\bigr),
temos \sin(t-\tfrac{\pi}{4})>0, isto é
t - \tfrac{\pi}{4}\;\in\;(0,\pi)\;+\;2\pi\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad t\in\bigl(\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{5\pi}{4}\bigr)+2\pi\mathbb{Z}.

Passo 5

A interseção dos dois intervalos (no primeiro giro 0\le t<2\pi) é
t\in\bigl(\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{3\pi}{4}\bigr]
pois em t=\pi/4 falha y>x e em t=3\pi/4 vale y\ge -x com igualdade.

Resposta

A parametrização desejada é
\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t\bigr), \quad t\in\bigl(\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{3\pi}{4}\bigr].

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