Encontre uma parametrização para as cônicas x-3=(y+1)^{2} e (x+3)^{2}+(y-4)^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização para duas cônicas no plano:
  1. A parábola dada por
x - 3 = (y + 1)^{2},
  1. O círculo dado por
(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4.
Para resolver, vamos usar o método clássico de atribuir um parâmetro a uma variável livre em cada equação, obtendo funções x(t) e y(t).

Passo 2

Para a parábola \;x - 3 = (y + 1)^{2}, note que podemos isolar y + 1 e tratá-lo como parâmetro. Defina
t = y + 1 \quad\Longrightarrow\quad y = t - 1.
Substituindo em x - 3 = (y + 1)^{2} vem
x - 3 = t^{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 3 + t^{2}.
Logo uma parametrização é
\begin{cases} x(t) = 3 + t^{2},\\\ y(t) = t - 1, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para o círculo \;(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4, usamos o parâmetro angular \theta. Sabe-se que
\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1,
logo se escolhemos raio 2, centro (-3,4), temos
\begin{cases} x + 3 = 2\cos\theta,\\\ y - 4 = 2\sin\theta, \end{cases}
ou seja
\begin{cases} x(\theta) = -3 + 2\cos\theta,\\\ y(\theta) = 4 + 2\sin\theta, \end{cases} \quad \theta\in[0,2\pi).

Resposta

Parábola:
\begin{cases} x(t) = 3 + t^{2},\\\ y(t) = t - 1, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Círculo:
\begin{cases} x(\theta) = -3 + 2\cos\theta,\\\ y(\theta) = 4 + 2\sin\theta, \end{cases} \quad \theta\in[0,2\pi).

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