Exercício 4. Mostre que se u in C^2(R^d) é uma função harmônica e O in SO(d), então a função v: R^d longrightarrow R dada por v(x):=u(O x) também é de classe C^2(R^d) e harmônica.
Dica: Lembre que SO(d) é o conjunto das matrizes reais de ordem d que satisfazem O^T=-O e det O=1. Além disso, se a transformação T é definida por T(x):=O x, então T^prime(x)=O, para todo x in R^d. Com estas informações, você pode aplicar a Regra da Cadeia para estudar o problema.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uin C^2(R^d) é harmônica (ou seja, De<a u=0 em R^d) e OinSO(d) é uma matriz ortogonal de determinante 1, então a função
v:R^dtoR, v(x)=u(Ox),
também é de classe C^2 e harmônica. Vamos usar que T(x)=O x é linear (logo C^infty) e a Regra da Cadeia, além da propriedade ortogonal O^T O=I.

Passo 2

Como T:R^dtoR^d, T(x)=O x, é uma transformação linear constante, temos Tin C^infty. Então a composição v=ucirc T pertence a C^2 porque compor funções C^2 e C^infty C^2. Logo
vin C^2(R^d)

Passo 3

Para ver que v é harmônica, calculamos as derivadas parciais pela Regra da Cadeia. Definindo y=T(x)=O x, a derivada primeira em direção a xi é
partial vpartial xi(x) =sumj=1^dpartial upartial yj(y),partial yjpartial xi =sumj=1^d uyj(O x);Oj i

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada em xi. Aplicando de novo a Regra da Cadeia em cada termo da soma, obtemos
partial^2 vpartial xi^2(x) =partialpartial xil(sumj=1^d uyj(O x),Oj ir) =sumj,k=1^d uyj yk(O x);Ok i;Oj i

Passo 5

A Laplaciana de v é a soma das segundas derivadas ao longo de cada coordenada xi:
De<a v(x) =sumi=1^dpartial^2 vpartial xi^2(x) =sumi=1^dsumj,k=1^d uyj yk(O x);Oj i;Ok i
Como O é ortogonal, vale (O^T O)jk=sumi=1^d Oj iOk i=de<ajk. Assim
De<a v(x) =sumj,k=1^d uyj yk(O x),de<ajk =sumj=1^d uyj yj(O x) =De<a u(O x)
Mas De<a uequiv0, logo De<a v(x)=0 para todo x.

Resposta

A função v(x)=u(Ox) é de classe C^2(R^d) e satisfaz De<a v=0, ou seja, é harmônica.

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