Exercício 4. Mostre que se
é uma função harmônica e
, então a função
dada por
também é de classe
e harmônica.
Dica: Lembre que
é o conjunto das matrizes reais de ordem
que satisfazem
e
. Além disso, se a transformação
é definida por
, então
, para todo
. Com estas informações, você pode aplicar a Regra da Cadeia para estudar o problema.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é harmônica (ou seja,
em
) e
é uma matriz ortogonal de determinante
, então a função
também é de classe
e harmônica. Vamos usar que
é linear (logo
) e a Regra da Cadeia, além da propriedade ortogonal
.
Passo 2
Como
,
, é uma transformação linear constante, temos
. Então a composição
pertence a
porque compor funções
e
dá
. Logo
Passo 3
Para ver que
é harmônica, calculamos as derivadas parciais pela Regra da Cadeia. Definindo
, a derivada primeira em direção a
é
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada em
. Aplicando de novo a Regra da Cadeia em cada termo da soma, obtemos
Passo 5
A Laplaciana de
é a soma das segundas derivadas ao longo de cada coordenada
:
Como
é ortogonal, vale
. Assim
Mas
, logo
para todo
.
Resposta
A função
é de classe
e satisfaz
, ou seja, é harmônica.