Exercício 0.3 Determine os pontos comuns aos gráficos das funções definidas por
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos de interseção entre os gráficos das funções
e
Ou seja, precisamos resolver a equação
e, para cada solução
, fornecer o ponto
correspondente (com
). As informações relevantes que temos:
- A equação a resolver é
, com . - O domínio divide-se naturalmente em duas partes:
e . Vamos tratar cada uma separadamente, porque para e para .
Passo 2
Caso
.
Defina a função
Primeiro algumas propriedades úteis (estas são ferramentas que aparecem sempre em provas; vou explicá-las passo a passo):
- Continuidade e derivada:
é contínua e diferenciável em . - Derivada:
Para
temos
e
, logo
. Isso significa que
é estritamente crescente em
.
- Limites nas extremidades do domínio:
Como
é contínua, estritamente crescente e passa de
a
, existe exatamente uma raiz em
. Portanto há exatamente uma interseção com
.
Agora vamos aproximar numericamente essa única solução. Método escolhido: Newton (rápido e prático na prova se souber usar; também poder-se-ia usar bissecção). A iteração de Newton para
é
Escolhe-se um chute inicial razoável: observando sinais,
(negativo) e
(positivo), logo a raiz está entre
e
. Tomemos
.
Calculemos algumas iterações (mostro os cálculos principais para aplicar na prova sem calculadora até uma precisão razoável):
- Para
:
Então
- Uma iteração adicional dá correção muito pequena (da ordem de
), portanto já podemos tomar
Calculamos
:
Consistência:
, confirma que estamos corretos.
Resumo deste caso: existe uma única interseção com
em
Passo 3
Caso
.
Coloque
, com
. A equação
fica
Defina
Observações:
-
é contínua e diferenciável para . - Derivada:
Note que a equação
é
, que é equivalente a
. Para
não existe solução de
porque
para todo
. Assim
para todo
, logo
é estritamente crescente.
- Limites:
Como
é contínua e estritamente crescente de
a
, existe uma única raiz
.
Agora uma observação elegante (uso de uma função padrão que às vezes aparece em provas): seja
a função de Lambert, definida pela relação
Para
temos
. Tomando logaritmo nessa igualdade obtemos
Mas isso é exatamente a forma de
se aceitarmos
, pois também
Portanto,
satisfaz
Como a raiz é única, concluímos que a solução é exatamente
Logo
Valor numérico conhecido:
. Assim
O correspondente
é
Mas, usando
, temos
. Portanto
Resumo deste caso: existe exatamente uma interseção com
, e ela é o ponto
Passo 4
Conclusão final (síntese): há exatamente dois pontos de interseção entre os gráficos, um com
e outro com
. Já obtivemos as aproximações e a forma exata (quando possível) para cada um.