Exercício 0.11 Determine o conjunto solução de
\left(x-\log _{7} 27\right)\left(x-\log _{2} \sqrt{8}\right)<0 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar o conjunto solução da desigualdade
\left(x-\log_{7}27\right)\left(x-\log_{2}\sqrt{8}\right)<0.
Informações dadas:
  • Há dois “zeros” naturais da expressão do produto: x=\log_{7}27 e x=\log_{2}\sqrt{8}.
  • A tarefa é achar todos os valores de x que tornam o produto estritamente negativo.

Passo 2

Relembrando uma propriedade básica de logaritmos (essencial aqui): para base a>0, a\neq1, vale
\log_{a}b=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^{c}=b.
Também usaremos que a função exponencial a^{x} com a>1 é estritamente crescente, então comparar potências é equivalente a comparar os expoentes via logaritmo.
Vamos calcular explicitamente os dois pontos notáveis (as raízes dos fatores).
Primeiro, simplificar \log_{2}\sqrt{8}. Note que
\sqrt{8}=8^{1/2}=(2^{3})^{1/2}=2^{3/2}.
Aplicando a definição do logaritmo:
\log_{2}\sqrt{8}=\log_{2}\bigl(2^{3/2}\bigr)=\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Agora o outro ponto: x=\log_{7}27. Não dá para simplificar para um racional óbvio porque 27=3^{3} e a base é 7. Mas para saber como posicionar esse número em relação a \tfrac{3}{2} (importante para a solução da desigualdade), comparamos as potências correspondentes.
Queremos saber se \log_{7}27 é maior ou menor que \tfrac{3}{2}. Usando a equivalência da definição de logaritmo, temos
\log_{7}27>\tfrac{3}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 27>7^{3/2}.
Para evitar radicais, elevamos ambos os lados ao quadrado (monotonia preservada para positivos):
27^{2}>7^{3}.
Calculando potências inteiras:
27^{2}=729,\qquad 7^{3}=343,
e como 729>343, concluímos que 27>7^{3/2}. Portanto
\log_{7}27>\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Agora a análise do sinal do produto. Regra simples: um produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos. Para duas expressões lineares em x como \bigl(x-a\bigr)\bigl(x-b\bigr)<0, isso acontece exatamente quando x está estritamente entre a e b.
Aqui a=\log_{2}\sqrt{8}=\tfrac{3}{2} e b=\log_{7}27. Como vimos \tfrac{3}{2}<\log_{7}27, a solução é o intervalo aberto entre eles:
\boxed{\; \tfrac{3}{2}<x<\log_{7}27\; }.

Resposta

\left(\tfrac{3}{2},\\ \log_{7}27\right)

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