Exercício 0.11 Determine o conjunto solução de
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto solução da desigualdade
Informações dadas:
- Há dois “zeros” naturais da expressão do produto:
e . - A tarefa é achar todos os valores de
que tornam o produto estritamente negativo.
Passo 2
Relembrando uma propriedade básica de logaritmos (essencial aqui): para base
,
, vale
Também usaremos que a função exponencial
com
é estritamente crescente, então comparar potências é equivalente a comparar os expoentes via logaritmo.
Vamos calcular explicitamente os dois pontos notáveis (as raízes dos fatores).
Primeiro, simplificar
. Note que
Aplicando a definição do logaritmo:
Passo 3
Agora o outro ponto:
. Não dá para simplificar para um racional óbvio porque
e a base é
. Mas para saber como posicionar esse número em relação a
(importante para a solução da desigualdade), comparamos as potências correspondentes.
Queremos saber se
é maior ou menor que
. Usando a equivalência da definição de logaritmo, temos
Para evitar radicais, elevamos ambos os lados ao quadrado (monotonia preservada para positivos):
Calculando potências inteiras:
e como
, concluímos que
. Portanto
Passo 4
Agora a análise do sinal do produto. Regra simples: um produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos. Para duas expressões lineares em
como
, isso acontece exatamente quando
está estritamente entre
e
.
Aqui
e
. Como vimos
, a solução é o intervalo aberto entre eles: