Determine um limitante superior para o valor absoluto da integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C} \frac{1}{z^{2}-2 i} d z, onde C é a metade direita da circunferência |z|=6, de z=-6 i a z=6 i.

Passo 1

A integral dada é integralC 1z^2-2i,dz, onde C é a semicírculo de raio 6 no semiplano direito, indo de -6i a 6i. O conteúdo é o uso da desigualdade ML (ou estimativa de módulo) para integral de contorno; vamos precisar do comprimento de C e de uma cota superior para l|1/(z^2-2i)r|.

Passo 2

Para z no contorno C vale |z|=6. Usando o passo da desigualdade triangular invertida, temos
|z^2-2i|>=|z|^2-|2i|=36-2=34
Assim,
|1z^2-2i|<=134=M

Passo 3

O comprimento L da semicírculo de raio 6 é metade do perímetro de um círculo de raio 6, ou seja:
L=picdot6=6pi

Passo 4

Pela desigualdade ML para integrais de contorno, temos
|integralC1z^2-2i,dz|<= M,L=134cdot6pi=6pi34=3pi17

Resposta

3pi17

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