Determine um limitante superior para o valor absoluto da integral dada ao longo do contorno especificado.
\int_{C} \frac{1}{z^{2}-2 i} d z, onde C é a metade direita da circunferência |z|=6, de z=-6 i a z=6 i.
Passo 1
A integral dada é , onde é a semicírculo de raio 6 no semiplano direito, indo de a . O conteúdo é o uso da desigualdade ML (ou estimativa de módulo) para integral de contorno; vamos precisar do comprimento de e de uma cota superior para .
Passo 2
Para z no contorno C vale |z|=6. Usando o passo da desigualdade triangular invertida, temos
|z^2-2i|>=|z|^2-|2i|=36-2=34
Assim,
|1z^2-2i|<=134=M
Passo 3
O comprimento L da semicírculo de raio 6 é metade do perímetro de um círculo de raio 6, ou seja:
L=picdot6=6pi
Passo 4
Pela desigualdade ML para integrais de contorno, temos