QuestĂŁo 9: Usando o teorema de Green, calcule ointC(y,-x)(d x, d y), C: x^2a^2+y^2b^2=1,
orientada no sentido anti-horĂĄrio.

Passo 1

A gente quer calcular a integral de linha ointC P,dx + Q,dy para o campo F=(P,Q)=(y,-x) ao longo da elipse x^2a^2+y^2b^2=1, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que converte uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada por C, e precisamos também da área dessa região.

Passo 2

Para usar o Teorema de Green lembramos que
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Calculamos as derivadas:
partial Qpartial x = partial(-x)partial x = -1, partial Ppartial y = partial(y)partial y = 1
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partial Qpartial x - partial Ppartial y = -1 - 1 = -2

Passo 3

Substituindo no Teorema de Green, a integral de linha vira
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD (-2),dA = -2 integral duplaD dA = -2,Área(D) Á
A região D é a elipse de semi-eixos a e b, cuja área é pi a b.

Passo 4

Portanto a integral vale
-2 times (pi a b) = -2pi a b
Como a orientação é anti-horária (sentido positivo para o Teorema de Green), não há nenhum sinal extra.

Passo 5

final_answer

Resposta

-2\pi a b

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