QuestĂŁo 9: Usando o teorema de Green, calcule
,
orientada no sentido anti-horĂĄrio.
orientada no sentido anti-horĂĄrio.
Passo 1
A gente quer calcular a integral de linha
para o campo
ao longo da elipse
, orientada no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que converte uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
, e precisamos também da área dessa região.
Passo 2
Para usar o Teorema de Green lembramos que
Calculamos as derivadas:
Logo
Passo 3
Substituindo no Teorema de Green, a integral de linha vira
A região
é a elipse de semi-eixos
e
, cuja área é
.
Passo 4
Portanto a integral vale
Como a orientação é anti-horária (sentido positivo para o Teorema de Green), não há nenhum sinal extra.
Passo 5
final_answer
Resposta
-2\pi a b