Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=y(x) no ponto especificado sabendo que cada equação determina y implicitamente como função diferenciável de x
x y^2=18 ; (2,-3)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico definido implicitamente por x y^2 = 18 no ponto (2,-3). Vamos usar derivação implícita e depois a fórmula da reta tangente: y - y0 = m(x - x0).

Passo 2

Para achar a derivada y' = tfracdydx a partir de x y^2 = 18, derivamos dos dois lados em relação a x. Como 18 é constante, obtemos:
ddx(x y^2) = 0

Passo 3

Aplicando a regra do produto em x y^2:
y^2 + x cdot 2y dydx = 0

Passo 4

Isolando dydx:
2x y dydx = -y^2 Longrightarrow dydx = -y^22x y = -y2x

Passo 5

Agora avaliamos y' em (2,-3):
m = y'(2,-3) = --32cdot 2 = 34

Passo 6

Finalmente, usamos a equação da reta tangente com m=3/4 e ponto (2,-3):
y - (-3) = 34(x - 2)

Resposta

y + 3 = \tfrac{3}{4}(x - 2)

Exercícios relacionados