Determine um limitante superior para o valor absoluto da integral integralC 1z^2+1 d z, onde o contorno C é o segmento de reta de z=3 a z=3+i. Use o fato de que |z-i| e|z+i|,onde i e-i representam, respectivamente, as distâncias entre z em C a pontos .

Passo 1

Enunciado: precisamos encontrar um limitante superior para l|integralC 1z^2+1,dzr|, onde C é o segmento de reta de 3 a 3+i. O conteúdo de teoria que vamos usar é o Lema ML (estimativa Mcdot L) e a propriedade |z^2+1|=|z-i|,|z+i|.

Passo 2

Determinar o comprimento de C. Como C vai de 3 a 3+i, temos
L=|3+i-3|=|i|=1

Passo 3

Analisar |z^2+1| em C. Parametrizando z=3+it com tin[0,1], temos
|z-i|=raiz9+(t-1)^2,
|z+i|=raiz9+(t+1)^2
O menor valor de |z^2+1|=|z-i|,|z+i| ocorre em t=0, dando
|z^2+1|min=raiz9+1cdotraiz9+1=10
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|1z^2+1|<=110em todo o contorno

Passo 4

Aplicar o Lema ML para bound na integral:
|integralC 1z^2+1,dz|<= Lcdotmaxzin C|1z^2+1|<=1cdot110=110

Resposta

110

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