Partindo de f circ f^-1(x)=x e usando derivação implícita obtenha as derivadas das funções trigonométricas inversas
dd x arcsc x=-1x raizx^2-1

Passo 1

O enunciado nos pede para usar a relação de função inversa e derivação implícita para obter a derivada de y=arcscx. O conteúdo é derivada de funções inversas e identidades trigonométricas; vamos precisar da fórmula geral de derivada de inversa e da derivada de f(x)=csc x.

Passo 2

Seja y=arcscx. Pela definição de inversa temos csc y=x. Queremos dfracdydx.
Usamos a fórmula da derivada de inversa: se f^-1(x)=y então dfracdydx=dfrac1f'(y). Aqui f(x)=csc x e f'(x)=-csc xcot x. Substituindo na fórmula:
dydx=1f'(y)=1-csc ycot y=-1csc ycot y

Passo 3

Agora expressamos csc y e cot y em função de x. Da definição, csc y=x. E pela identidade 1+cot^2y=csc^2y temos
cot y=raizcsc^2y-1=raizx^2-1

Passo 4

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dydx=-1xraizx^2-1

Resposta

-1xraizx^2-1

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