Partindo de
e usando derivação implícita obtenha as derivadas das funções trigonométricas inversas
Passo 1
O enunciado pede para obter a derivada de
usando a relação de inversão
, ou seja, implicitamente aplicando a regra da cadeia e conhecendo a derivada de
.
Passo 2
Seja
. Por definição de função inversa, temos
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados dessa igualdade em relação a
. No lado esquerdo a derivada de
é 1, e no lado direito usamos a derivada de
multiplicada por
(regra da cadeia). A derivada de
em relação a
é
. Logo:
Passo 4
Igualando as duas derivadas fica
Isolando
obtemos
Passo 5
Para expressar em função de
, usamos a identidade trigonométrica
Mas
, logo
. Substituindo na derivada: