Partindo de f circ f^-1(x)=x e usando derivação implícita obtenha as derivadas das funções trigonométricas inversas
dd x arcot x=-11+x^2

Passo 1

O enunciado pede para obter a derivada de arcot(x) usando a relação de inversão f(f^-1(x))=x, ou seja, implicitamente aplicando a regra da cadeia e conhecendo a derivada de cot(y).

Passo 2

Seja y=arcot(x). Por definição de função inversa, temos
x=cot(y)

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados dessa igualdade em relação a x. No lado esquerdo a derivada de x é 1, e no lado direito usamos a derivada de cot(y) multiplicada por dy/dx (regra da cadeia). A derivada de cot(y) em relação a y é -csc^2(y). Logo:
ddxl[cot(y)r] = -csc^2(y)cdotdydx

Passo 4

Igualando as duas derivadas fica
1 = -csc^2(y)cdotdydx
Isolando dy/dx obtemos
dydx = -1csc^2(y)

Passo 5

Para expressar em função de x, usamos a identidade trigonométrica
csc^2(y) = 1 + cot^2(y)
Mas cot(y)=x, logo csc^2(y)=1+x^2. Substituindo na derivada:
ddxl[arcot(x)r] = -11+x^2

Resposta

ddxarcot(x) = -11+x^2

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