Partindo de f circ f^-1(x)=x e usando derivação implícita obtenha as derivadas das funções trigonométricas inversas
dd x arcsec x=1x raizx^2-1

Passo 1

O enunciado pede para obter, usando derivação implícita a partir de fcirc f^-1(x)=x, a derivada de . O conteúdo principal é derivação de funções inversas e identidades trigonométricas.

Passo 2

Seja . Por definição de inversa temos y=arcsec x.
Derivando implicitamente em relação a x=sec y: primeiro escrevemos x, depois diferenciamos ambos os lados em relação a x=sec y:
x
No lado esquerdo ddxl(xr)=ddxl(sec yr). No lado direito usamos a regra da cadeia:
d(x)/dx=1
Logo temos
ddxl(sec yr)=sec ytan ycdotdydx

Passo 3

Isolando dy/dx:
dydx=1sec ytan y
Agora expressamos sec y e tan y em termos de x: como sec y=x e da identidade tan^2y=sec^2y-1 segue tan y=raizx^2-1 (considerando o ramo padrão de ). Assim
arcsec
Substituindo de volta em sec ytan y=xcdotraizx^2-1 chega-se a
dy/dx

Resposta

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