Determine um limitante superior para o valor absoluto da integral
, onde o contorno
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
A integral é de Ln(z+3) ao longo do segmento de reta de 3i até 4+3i. O conteúdo aqui é usar a desigualdade de ML para estimar o valor absoluto da integral. Vamos precisar parametrizar C, calcular seu comprimento e achar um majorante para |Ln(z+3)| ao longo de C.
Passo 2
Parametrizamos C por z(t)=4t+3i, com t∈[0,1]. Daí z’(t)=4 e o comprimento de C é dado por
Passo 3
Para estimar M=\sup_{z\in C}|Ln(z+3)|, note que para w=z+3 temos Ln(w)=\ln|w|+i\Arg(w) e
Sobre C, w vai de 3+3i até 7+3i, então |w| cresce de √18 até √58 e Arg(w)=\arctan(3/(Re(w))) varia entre π/4 e \arctan(3/7)<π/4. Logo
portanto
Passo 4
Pela desigualdade de ML temos