Determine um limitante superior para o valor absoluto da integral integralC Ln(z+3) d z, onde o contorno C é o segmento de reta de z=3 i a z=4+3 i.

Passo 1

A integral é de Ln(z+3) ao longo do segmento de reta de 3i até 4+3i. O conteúdo aqui é usar a desigualdade de ML para estimar o valor absoluto da integral. Vamos precisar parametrizar C, calcular seu comprimento e achar um majorante para |Ln(z+3)| ao longo de C.

Passo 2

Parametrizamos C por z(t)=4t+3i, com t∈[0,1]. Daí z’(t)=4 e o comprimento de C é dado por
L=integral0^1|z'(t)|,dt=integral0^1 4,dt=4

Passo 3

Para estimar M=\sup_{z\in C}|Ln(z+3)|, note que para w=z+3 temos Ln(w)=\ln|w|+i\Arg(w) e
Sobre C, w vai de 3+3i até 7+3i, então |w| cresce de √18 até √58 e Arg(w)=\arctan(3/(Re(w))) varia entre π/4 e \arctan(3/7)<π/4. Logo
portanto
|Ln(w)|=raiz(ln|w|)^2+(Arg w)^2<=|ln|w||+|Arg w|

Passo 4

Pela desigualdade de ML temos
l|integralC Ln(z+3),dzr|<= M,L<=4l(lnraiz58+tfracπ4r)

Resposta

4l(lnraiz58+tfracπ4r)

Exercícios relacionados