Um tanque tem a forma de um cone circular de altura 5 m e diâmetro 6 m no topo. Enche-se o tanque com água a uma taxa de 1.6 m^3 / min. Encontre a taxa com que o nível de água no tanque sobe quando a água atinge 2 metros de profundidade.

Passo 1

O tanque tem formato de cone com altura total de 5 m e diâmetro no topo de 6 m, e a água está subindo a uma taxa que queremos achar quando a profundidade é 2 m. O volume varia com a altura da água, e vamos usar semelhança de triângulos para relacionar o raio da superfície livre à altura e depois derivar em relação ao tempo (taxas relacionadas).

Passo 2

Pela semelhança de triângulos entre o cone todo e o cone da água, temos
rh = 35,
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r = 35,h
O volume de um cone de raio r e altura h é
V = 13pi r^2 h
Substituindo r = tfrac35h obtemos
V = 13pi l(35hr)^2 h = 3pi25h^3

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, aplicando a regra da cadeia, vem
dVdt = ddtl(3pi25h^3r) = 9pi25h^2dhdt
Isolando dhdt
dhdt = 259pi,h^2dVdt

Passo 4

Agora basta substituir h=2,m e dVdt=1.6,m^3/min:
dhdt = 259pi,(2)^2times 1.6 = 25times1.636pi = 4036pi = 109pi,m/min

Resposta

109pi,m/min

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