Um tanque tem a forma de um cone circular de altura 5 m e diâmetro 6 m no topo. Enche-se o tanque com água a uma taxa de
. Encontre a taxa com que o nível de água no tanque sobe quando a água atinge 2 metros de profundidade.
Passo 1
O tanque tem formato de cone com altura total de 5 m e diâmetro no topo de 6 m, e a água está subindo a uma taxa que queremos achar quando a profundidade é 2 m. O volume varia com a altura da água, e vamos usar semelhança de triângulos para relacionar o raio da superfície livre à altura e depois derivar em relação ao tempo (taxas relacionadas).
Passo 2
Pela semelhança de triângulos entre o cone todo e o cone da água, temos
logo
O volume de um cone de raio
e altura
é
Substituindo
obtemos
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
, aplicando a regra da cadeia, vem
Isolando
dá
Passo 4
Agora basta substituir
e
: