Determine um limitante superior para o valor absoluto da integral C, onde R>3 é uma circunferência com raio e centro na origem. Use o fato de que e aplique a desigualdade triangular (10) da Seção 1.2 em cada fator.

Passo 1

A questão pede um limitante superior para o valor absoluto de ointCz^2(z^2+9)^2,dz, onde C é a circunferência de raio R>3 centrada na origem. Vamos usar a desigualdade l|integral fr|<= ML (ML-inequality) e a desigualdade triangular |z-a|>=||z|-|a||.

Passo 2

Observamos que |z^2+9|=|z-3i|,|z+3i|. Como em C temos |z|=R, aplicando a desigualdade triangular |z-3i|>=|,|z|-3| e similar para |z+3i|, obtemos
|z^2+9|>=(R-3)(R-3)=(R-3)^2

Passo 3

Da desigualdade anterior decorre que
l|tfracz^2(z^2+9)^2r|=|z|^2|z^2+9|^2<=R^2(R-3)^4

Passo 4

A circunferência C tem comprimento L=2pi R. Aplicando a ML-inequality:
l|ointCz^2(z^2+9)^2,dzr|<= M,L
onde M=R^2(R-3)^4 e L=2pi R.

Passo 5

Substituindo, concluímos que
l|ointCz^2(z^2+9)^2,dzr|<= 2pi RcdotR^2(R-3)^4=2pi R^3(R-3)^4

Resposta

Um limitante superior é 2pi R^3(R-3)^4.

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