Determine um limitante superior para o valor absoluto da integral , onde é uma circunferência com raio e centro na origem. Use o fato de que e aplique a desigualdade triangular (10) da Seção 1.2 em cada fator.
Passo 1
A questão pede um limitante superior para o valor absoluto de ointCz^2(z^2+9)^2,dz, onde C é a circunferência de raio R>3 centrada na origem. Vamos usar a desigualdade l|integral fr|<= ML (ML-inequality) e a desigualdade triangular |z-a|>=||z|-|a||.
Passo 2
Observamos que |z^2+9|=|z-3i|,|z+3i|. Como em C temos |z|=R, aplicando a desigualdade triangular |z-3i|>=|,|z|-3| e similar para |z+3i|, obtemos
|z^2+9|>=(R-3)(R-3)=(R-3)^2
Passo 3
Da desigualdade anterior decorre que
l|tfracz^2(z^2+9)^2r|=|z|^2|z^2+9|^2<=R^2(R-3)^4
Passo 4
A circunferência C tem comprimento L=2pi R. Aplicando a ML-inequality: