Determine o limite:
lim x 0 cos (2 x)-1x^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinarmos o valor de:
lim x 0 cos (2 x)-1x^2
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, mais especificamente com funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e de como calcular limites envolvendo senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)
Então, podemos reescrever o numerador:
cos(2x) - 1 = (1 - 2sin^2(x)) - 1 = -2sin^2(x)
Agora, nossa expressão fica:
cos(2x) - 1x^2 = -2sin^2(x)x^2

Passo 3

Vamos simplificar essa fração. Podemos separar os termos:
-2sin^2(x)x^2 = -2 cdot (sin(x)x)^2
Agora, temos:
-2 cdot (sin(x)x)^2

Passo 4

Lembrando de um limite fundamental:
limx 0 sin(x)x = 1
Então, ao elevarmos esse limite ao quadrado:
(limx 0 sin(x)x)^2 = 1^2 = 1

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão:
-2 cdot (sin(x)x)^2 -2 cdot 1 = -2

Resposta

O limite vale -2.

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