Determine o limite:
lim x longrightarrow 2 2 x^2+4 x-30x-2

Passo 1

O enunciado pede
limxto 22x^2+4x-30x-2
O conteúdo aqui é limite de função racional que apresenta denominador nulo em x=2. Para resolver, vamos primeiro verificar a substituição direta e depois estudar o sinal de numerador e denominador em torno de x=2.

Passo 2

Verificamos o valor do numerador em x=2:
2cdot 2^2+4cdot 2-30 =8+8-30=-14neq 0
Como o denominador (x-2) tende a zero em xto2 e o numerador tende a -14neq0, há descontinuidade infinita, isto é, o quociente tende a infinito ou menos infinito. Precisamos determinar o sinal.

Passo 3

Como o numerador é contínuo e próximo de x=2 toma sempre valor próximo de -14 (negativo), basta analisar o sinal de x-2:
  • Para xto2^+ temos x-2>0, logo
(numerador negativo)(denominador positivo)to -infty
  • Para xto2^- temos x-2<0, logo
(numerador negativo)(denominador negativo)to +infty

Passo 4

Os limites laterais são diferentes ( +infty e -infty), portanto o limite de duas bandas em xto2 não existe no sentido real.

Resposta

O limite não existe (diverge para +infty pela esquerda e para -infty pela direita).

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