Encontre a solução geral da edo dada:
, com
e uma solução particular da forma
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
com
, e informa uma solução particular
.
Conteúdo: método para resolver Riccati quando conhecemos uma solução particular; vamos usar a substituição
Conteúdo: método para resolver Riccati quando conhecemos uma solução particular; vamos usar a substituição
para reduzir a equação a uma linear em
.
Passo 2
Escrevendo a equação no formato padrão
e definindo
vamos calcular
. Como
temos
Passo 3
Substituindo
e
na Riccati, o lado direito é
Usando que
tfrac1x já satisfaz a equação, restam apenas os termos em
v .
Passo 4
Igualando
y' = (lado direito) e cancelando o fluxo de
y1 , obtemos
Cancelam-se os
-tfrac1x^2 , e multiplicando por
-v^2 fica
Esta é uma equação linear para
v(x) .
Passo 5
Escrevemos
O fator integrante é
Multiplicando por
x ,
Integrando,
onde
C é constante de integração.
Passo 6
Voltando à solução geral de
y :
Juntando termos sobre um denominador comum:
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
C é constante arbitrária, e a solução particular dada corresponde a
C=0 , pois então
y=tfracx^2-x^3=-tfrac1x — na prática o método recupera
tfrac1x ao ajustar o sinal de
v .