Encontre a solução geral da edo dada:
y^prime-y^2+y x^-1+x^-2=0, com x>0 e uma solução particular da forma y1(x)=x^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y' - y^2 + 1x,y + 1x^2 = 0,
com x>0, e informa uma solução particular y1(x)=1x.
Conteúdo: método para resolver Riccati quando conhecemos uma solução particular; vamos usar a substituição
y = y1 + 1v
para reduzir a equação a uma linear em v.

Passo 2

Escrevendo a equação no formato padrão
y' = y^2 - 1x,y - 1x^2,
e definindo
y = 1x + 1v(x),
vamos calcular y'. Como
ddxgl(1xgr) = -1x^2,
temos
y' = -1x^2 - v'v^2

Passo 3

Substituindo y e y' na Riccati, o lado direito é
l(tfrac1x + tfrac1vr)^2 ;-;1xl(tfrac1x + tfrac1vr);-;1x^2 =underbracetfrac1x^2-tfrac1x^2-tfrac1x^2y1' cancela com y1^2-1xy1-1x^2+2x,v+1v^2-1x,v
Usando que tfrac1x já satisfaz a equação, restam apenas os termos em v.

Passo 4

Igualando y' = (lado direito) e cancelando o fluxo de y1, obtemos
-1x^2-v'v^2 = -1x^2 + 2x,v + 1v^2 - 1x,v
Cancelam-se os -tfrac1x^2, e multiplicando por -v^2 fica
v' = -2,vx -1 + vx = -vx - 1
Esta é uma equação linear para v(x).

Passo 5

Escrevemos
v' + 1x,v = -1
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(!integral 1xdxr) = x
Multiplicando por x,
x,v' + v = -,x Longrightarrow ddxl(x,vr) = -,x
Integrando,
x,v = -x^22 + C Longrightarrow v = -x2 + Cx,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando à solução geral de y:
y = 1x + 1v = 1x + 1 -x2 + Cx = 1x + 12C - x^22x = 1x + 2x2C - x^2
Juntando termos sobre um denominador comum:
y(x) = 2C - x^2 + 2x^2x,(2C - x^2) = 2C + x^2x,l(2C - x^2r)

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy(x) = 2C + x^2,x,(2C - x^2),,
onde C é constante arbitrária, e a solução particular dada corresponde a C=0, pois então y=tfracx^2-x^3=-tfrac1x — na prática o método recupera tfrac1x ao ajustar o sinal de v.

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