Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se f for contínua e nâo negativa em uma regiâo polar simples R, entāo o volume do sólido delimitado entre R e o gráfico da superfície z=f(r, theta) serí dado por
integralegral duplaN f(r, theta) r d A

Passo 1

O enunciado diz que, para uma função contínua e não negativa f numa região simples R em coordenadas polares, o volume do sólido sob a superfície z=f(r,theta) seria dado por
integral duplaN f(r,theta),r,dA
O que precisamos é lembrar como se calcula volume via integrais duplas e como se faz a mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, o volume sob z=f(x,y) sobre uma região R do plano é
V = integral duplaR f(x,y),dA,
onde dA = dx,dy.

Passo 3

Quando passamos a coordenadas polares (r,theta), o elemento de área dA no plano xy torna-se
dA = r,dr,dtheta

Passo 4

Substituindo em V=integral duplaRf(x,y),dA e escrevendo f(x,y)=f(r,theta), obtemos
V = integral duplaN f(r,theta),l(r,dr,dthetar) = integral duplaN f(r,theta),r,dr,dtheta
Ou seja, a forma correta da integral em polares é sem um fator extra de r.

Passo 5

A afirmação original inseriu um r multiplicando um dA que já representaria a área polar, gerando um r^2 a mais. Esse fator não está presente na forma correta, logo a fórmula dada está errada.

Resposta

Falso.

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