Determine o limite abaixo, caso exista.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{3 x^{2}-8 x-16}{2 x^{2}-9 x+4}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to4}\frac{3x^{2}-8x-16}{2x^{2}-9x+4}.
Trata-se de uma função racional, e ao substituir x=4 diretamente obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos fatorar numerador e denominador e simplificar.

Passo 2

Fazendo a substituição direta:
3\cdot4^{2}-8\cdot4-16 = 48 - 32 - 16 = 0,
2\cdot4^{2}-9\cdot4+4 = 32 - 36 + 4 = 0.
Logo, a expressão é 0/0, indeterminação que exige fatoração.

Passo 3

Fatoramos separadamente:
3x^{2}-8x-16 = (3x+4)(x-4),
2x^{2}-9x+4 = (2x-1)(x-4).

Passo 4

Podemos então simplificar o fator comum (x-4), para x\neq4:
\frac{3x^{2}-8x-16}{2x^{2}-9x+4} = \frac{(3x+4)(x-4)}{(2x-1)(x-4)} = \frac{3x+4}{2x-1}.

Passo 5

Agora o limite não é mais indeterminado e basta substituir x=4:
\lim_{x\to4}\frac{3x+4}{2x-1} = \frac{3\cdot4+4}{2\cdot4-1} = \frac{16}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{7}

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