Determine se a sequência dada é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre seu limite.
f) \left\{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \{a_n\} dada por
a_n = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}
é convergente ou divergente. Vamos usar técnicas de limites de sequência envolvendo radicais, em particular a racionalização de denominador.

Passo 2

Repare que o denominador \sqrt{n^{2}+1}-n tende a zero quando n cresce, o que pode levar a comportamento de divergência. Para investigar melhor, vamos racionalizar esse denominador.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pela expressão conjugada \sqrt{n^{2}+1}+n:
a_n = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}+n}{\bigl(\sqrt{n^{2}+1}-n\bigr)\bigl(\sqrt{n^{2}+1}+n\bigr)} = \sqrt{n^{2}+1}+n.

Passo 4

Agora, analisando
a_n = \sqrt{n^{2}+1}+n,
para n\to\infty temos
\sqrt{n^{2}+1} = n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}} = n\Bigl(1+\frac{1}{2n^{2}}+o\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)\Bigr) = n + \frac{1}{2n}+o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Logo
a_n = n + \frac{1}{2n}+n+o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) = 2n + o(1),
que cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge, mais precisamente \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty.

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