Determine o limite abaixo, caso exista.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}-x-3}{x^{3}+2 x^{2}+6 x+5}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -1}\frac{2x^{2}-x-3}{x^{3}+2x^{2}+6x+5}
que é uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. O conteúdo envolvido é limite de função racional; vamos usar fatoração de polinômios, cancelamento de fatores e continuidade para avaliar o limite.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em x=-1:
2(-1)^{2}-(-1)-3=2+1-3=0, \quad (-1)^{3}+2(-1)^{2}+6(-1)+5=-1+2-6+5=0,
ou seja, dá 0/0. Precisamos fatorar numerador e denominador para eliminar o fator comum.

Passo 3

Fatoramos o numerador \,2x^{2}-x-3. As raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{4}=\frac{1\pm5}{4}\in\{\,\tfrac{6}{4},-1\},
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2x^{2}-x-3=2(x+1)\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr).
Para o denominador x^{3}+2x^{2}+6x+5, usamos a raiz x=-1 por divisão sintética e obtemos
x^{3}+2x^{2}+6x+5=(x+1)\bigl(x^{2}+x+5\bigr).

Passo 4

Cancelamos o fator comum x+1 (válido para x\neq-1) e definimos a função equivalente
f(x)=\frac{2(x+1)(x-\tfrac{3}{2})}{(x+1)(x^{2}+x+5)} \;\longrightarrow\; g(x)=\frac{2\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)}{x^{2}+x+5}.
Como g é contínua em x=-1,
\lim_{x\to -1}g(x) =\frac{2\bigl(-1-\tfrac{3}{2}\bigr)}{(-1)^{2}+(-1)+5} =\frac{2\cdot(-\tfrac{5}{2})}{1-1+5} =\frac{-5}{5}=-1.

Resposta

-1

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