Determine se a sequência dada é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre seu limite.
e) \left\{\frac{\ln (n)}{n^{2}}\right\};

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{\ln(n)}{n^{2}}
e pede para determinar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar seu limite. O conteúdo é comportamento assintótico de sequências, comparando o crescimento de \ln(n) com potências de n.

Passo 2

Observe que, para n\ge1, temos \ln(n)>0, então a_{n}>0. Além disso, considere a função
g(x)=x-\ln(x).
Para x>1,
g'(x)=1-\frac1x>0,
logo g é crescente em [1,\infty) e, como g(1)=1, segue g(x)>0 para todo x\ge1. Isso implica
\ln(n)<n \quad\Longrightarrow\quad a_{n}=\frac{\ln(n)}{n^{2}}<\frac{n}{n^{2}}=\frac1n.
Assim
0 < a_{n} < \frac1n.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac1n=0.
Pelo Teorema do Confronto (Squeeze), segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

A sequência \{a_{n}\} é convergente e
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^{2}} = 0.

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